Номер 30, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 8 = 17$ и $\frac{1}{9}x = 1$;

2) $x = 5$ и $x^2 = 25$;

3) $x^2 = -10x$ и $x = -10$;

4) $\sqrt{x} = -1$ и $|x| = -1$;

5) $x - 10 = x - 10$ и $\frac{x^4 + 16}{x^4 + 16} = 1$;

6) $x + 4 = x + 4$ и $\frac{x + 4}{x + 4} = 1$;

7) $x^2 + 10x + 25 = 0$ и $x + 5 = 0$;

8) $\frac{x^2 + 6x + 8}{x + 2} = 0$ и $x + 4 = 0$;

9) $x\sqrt{x + 5} = 0$ и $(x + 5)\sqrt{x} = 0$;

10) $\sqrt{x - 10} \cdot \sqrt{x + 4} = 0$ и $\sqrt{(x - 10)(x + 4)} = 0$?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) $x + 8 = 17$ и $\frac{1}{9}x = 1$

Решим первое уравнение:
$x = 17 - 8$
$x = 9$

Решим второе уравнение:
$x = 1 \cdot 9$
$x = 9$

Оба уравнения имеют один и тот же корень $x = 9$. Следовательно, множества их решений совпадают.

Ответ: да, равносильны.

2) $x = 5$ и $x^2 = 25$

Первое уравнение имеет единственный корень $x = 5$.

Решим второе уравнение:
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Второе уравнение имеет два корня: $5$ и $-5$. Так как множества корней ($\{5\}$ и $\{-5, 5\}$) не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, не равносильны.

3) $x^2 = -10x$ и $x = -10$

Решим первое уравнение:
$x^2 + 10x = 0$
$x(x + 10) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -10$

Первое уравнение имеет два корня: $0$ и $-10$. Второе уравнение имеет только один корень: $-10$. Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

4) $\sqrt{x} = -1$ и $|x| = -1$

Первое уравнение $\sqrt{x} = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным.

Второе уравнение $|x| = -1$ также не имеет решений, так как модуль числа по определению не может быть отрицательным.

Поскольку оба уравнения не имеют корней, множества их решений совпадают (оба являются пустыми множествами). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

5) $x - 10 = x - 10$ и $\frac{x^4 + 16}{x^4 + 16} = 1$

Первое уравнение $x - 10 = x - 10$ является тождеством. Оно верно при любом значении $x$. Множество его решений — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Во втором уравнении $\frac{x^4 + 16}{x^4 + 16} = 1$ знаменатель $x^4 + 16$ никогда не равен нулю (так как $x^4 \ge 0$, то $x^4 + 16 \ge 16$). Поэтому на него можно сократить. В результате также получается тождество $1 = 1$, верное при любом значении $x$. Множество его решений — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Множества решений совпадают.

Ответ: да, равносильны.

6) $x + 4 = x + 4$ и $\frac{x + 4}{x + 4} = 1$

Первое уравнение $x + 4 = x + 4$ является тождеством, его решение — любое действительное число, $x \in \mathbb{R}$.

Второе уравнение $\frac{x + 4}{x + 4} = 1$ определено только для тех $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x + 4 \neq 0$, или $x \neq -4$. Для всех $x \neq -4$ уравнение является верным тождеством. Таким образом, его множество решений — все действительные числа, кроме $-4$.

Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

7) $x^2 + 10x + 25 = 0$ и $x + 5 = 0$

Решим первое уравнение, свернув левую часть по формуле квадрата суммы:
$(x + 5)^2 = 0$
$x + 5 = 0$
$x = -5$

Решение второго уравнения:
$x + 5 = 0$
$x = -5$

Оба уравнения имеют единственный корень $x = -5$.

Ответ: да, равносильны.

8) $\frac{x^2 + 6x + 8}{x + 2} = 0$ и $x + 4 = 0$

Решим первое уравнение. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1) Числитель: $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$.
2) Знаменатель: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Исключаем корень $x = -2$ из-за ограничения на знаменатель. Остается единственный корень $x = -4$.

Решим второе уравнение:
$x + 4 = 0$
$x = -4$

Оба уравнения имеют единственный корень $x = -4$.

Ответ: да, равносильны.

9) $x\sqrt{x+5}=0$ и $(x+5)\sqrt{x}=0$

Решим первое уравнение $x\sqrt{x+5}=0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x=0$ (входит в ОДЗ) или $\sqrt{x+5}=0 \implies x+5=0 \implies x=-5$ (входит в ОДЗ).
Корни: $\{-5, 0\}$.

Решим второе уравнение $(x+5)\sqrt{x}=0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x+5=0 \implies x=-5$ (не входит в ОДЗ) или $\sqrt{x}=0 \implies x=0$ (входит в ОДЗ).
Единственный корень: $\{0\}$.

Множества корней $\{-5, 0\}$ и $\{0\}$ не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

10) $\sqrt{x-10} \cdot \sqrt{x+4} = 0$ и $\sqrt{(x-10)(x+4)} = 0$

Решим первое уравнение $\sqrt{x-10} \cdot \sqrt{x+4} = 0$.
ОДЗ: система неравенств $\begin{cases} x-10 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 10 \\ x \ge -4 \end{cases} \implies x \ge 10$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$\sqrt{x-10}=0 \implies x=10$ (входит в ОДЗ).
$\sqrt{x+4}=0 \implies x=-4$ (не входит в ОДЗ).
Единственный корень: $\{10\}$.

Решим второе уравнение $\sqrt{(x-10)(x+4)} = 0$.
ОДЗ: $(x-10)(x+4) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -4] \cup [10, \infty)$.
Возведем обе части в квадрат: $(x-10)(x+4) = 0$.
Корни: $x_1=10$ (входит в ОДЗ) и $x_2=-4$ (входит в ОДЗ).
Множество корней: $\{-4, 10\}$.

Множества корней $\{10\}$ и $\{-4, 10\}$ не совпадают из-за различия в областях допустимых значений.

Ответ: нет, не равносильны.