Номер 24, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 24, являются обратимыми?

Рис. 24

а

б

в

Функция называется обратимой, если она является взаимно однозначным отображением, то есть каждому значению функции (из области значений) соответствует ровно одно значение аргумента (из области определения). Графически это можно проверить с помощью теста горизонтальной линии: функция обратима, если любая горизонтальная прямая пересекает её график не более чем в одной точке. Это условие выполняется для строго монотонных функций (строго возрастающих или строго убывающих на всей области определения).

Рассмотрим каждый из представленных графиков:

а. График этой функции не является монотонным на всей области определения. Он состоит из двух частей: на одной функция убывает, на другой — возрастает. Горизонтальная прямая, проведенная выше оси абсцисс (например, прямая $y=k$ при $k>0$), пересечет график в двух точках. Это означает, что разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, следовательно, функция не является взаимно однозначной.
Ответ: не является обратимой.

б. График этой функции является строго убывающим на всей своей области определения. Любая горизонтальная прямая пересекает этот график ровно в одной точке. Это означает, что каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Следовательно, данная функция является взаимно однозначной и обратимой.
Ответ: является обратимой.

в. График этой функции — горизонтальный отрезок. Это означает, что функция является постоянной на отрезке $[-1, 1]$, то есть $y=3$ для всех $x \in [-1, 1]$. Одному значению функции $y=3$ соответствует бесконечно много значений аргумента. Горизонтальная прямая $y=3$ совпадает с графиком функции на всем отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, функция не является взаимно однозначной.
Ответ: не является обратимой.

Таким образом, из представленных функций обратимой является только та, график которой изображен на рисунке б.