Номер 17, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. На рисунке 23 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 3$;

2) $y = f(x + 1)$;

3) $y = -1 - f(x)$;

4) $y = f\left(-\frac{x}{3}\right)$.

Рис. 23

Для решения задачи сначала проанализируем исходный график функции $y=f(x)$, изображенный на рисунке.

Основные характеристики графика $y=f(x)$:

• Это график возрастающей функции.
• Область определения, показанная на рисунке: $D(f) = (-\infty, 0]$.
• График имеет горизонтальную асимптоту $y = -2$ при $x \to -\infty$.
• График проходит через контрольные точки с легко читаемыми координатами: $(0, 0)$, $(-1, -1)$, $(-2, -1.5)$.

Используя эти данные, мы можем построить графики требуемых функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y = f(x) + 3$

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). Это преобразование изменяет ординату каждой точки графика, не меняя абсциссу: $(x, y) \rightarrow (x, y+3)$.

• Контрольная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0, 0+3)$, то есть $(0, 3)$.
• Контрольная точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, -1+3)$, то есть $(-1, 2)$.
• Контрольная точка $(-2, -1.5)$ переходит в точку $(-2, -1.5+3)$, то есть $(-2, 1.5)$.
• Горизонтальная асимптота $y = -2$ также сдвигается на 3 единицы вверх и становится $y = -2+3 = 1$.

Ответ: График функции $y=f(x)+3$ получается сдвигом исходного графика на 3 единицы вверх. Новый график проходит через точки $(0, 3)$, $(-1, 2)$, $(-2, 1.5)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$.

2) $y = f(x + 1)$

Чтобы построить график функции $y = f(x+1)$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). Это преобразование изменяет абсциссу каждой точки графика, не меняя ординату: $(x, y) \rightarrow (x-1, y)$.

• Контрольная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0-1, 0)$, то есть $(-1, 0)$.
• Контрольная точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1-1, -1)$, то есть $(-2, -1)$.
• Контрольная точка $(-2, -1.5)$ переходит в точку $(-2-1, -1.5)$, то есть $(-3, -1.5)$.
• Горизонтальная асимптота $y = -2$ не изменяется при сдвиге по горизонтали.

Ответ: График функции $y=f(x+1)$ получается сдвигом исходного графика на 1 единицу влево. Новый график проходит через точки $(-1, 0)$, $(-2, -1)$, $(-3, -1.5)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$.

3) $y = -1 - f(x)$

Построение графика функции $y = -f(x) - 1$ выполняется в два этапа:
1. Сначала строим график функции $y_1 = -f(x)$, который получается симметричным отражением графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс ($Ox$). Преобразование для точек: $(x, y) \rightarrow (x, -y)$.
2. Затем сдвигаем полученный график $y_1 = -f(x)$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат ($Oy$). Преобразование для точек: $(x, y_1) \rightarrow (x, y_1-1)$.

Применим эти преобразования последовательно:

• Точка $(0, 0) \rightarrow (0, -0) = (0, 0) \rightarrow (0, 0-1) = (0, -1)$.
• Точка $(-1, -1) \rightarrow (-1, -(-1)) = (-1, 1) \rightarrow (-1, 1-1) = (-1, 0)$.
• Точка $(-2, -1.5) \rightarrow (-2, -(-1.5)) = (-2, 1.5) \rightarrow (-2, 1.5-1) = (-2, 0.5)$.
• Асимптота $y = -2$ сначала отражается в $y = -(-2) = 2$, а затем сдвигается вниз в $y = 2-1 = 1$.

Так как исходная функция возрастала, после отражения относительно оси $Ox$ она станет убывающей.

Ответ: График функции $y=-1-f(x)$ является убывающей кривой. Он получен путем отражения исходного графика относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 1 единицу вниз. Новый график проходит через точки $(0, -1)$, $(-1, 0)$, $(-2, 0.5)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$.

4) $y = f(\frac{x}{3})$

Чтобы построить график функции $y = f(\frac{x}{3})$, необходимо растянуть график функции $y = f(x)$ в 3 раза вдоль оси абсцисс ($Ox$). Это преобразование умножает абсциссу каждой точки графика на 3, не меняя ординату: $(x, y) \rightarrow (3x, y)$.

• Контрольная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(3 \cdot 0, 0)$, то есть $(0, 0)$.
• Контрольная точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(3 \cdot (-1), -1)$, то есть $(-3, -1)$.
• Контрольная точка $(-2, -1.5)$ переходит в точку $(3 \cdot (-2), -1.5)$, то есть $(-6, -1.5)$.
• Горизонтальная асимптота $y = -2$ не изменяется при растяжении по горизонтали.

Ответ: График функции $y=f(\frac{x}{3})$ получается растяжением исходного графика в 3 раза вдоль оси $Ox$. Новый график проходит через точки $(0, 0)$, $(-3, -1)$, $(-6, -1.5)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$.