Номер 18, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Асимптоты графика — это прямые, к которым график приближается, но не пересекает. Для данной функции асимптотами являются оси координат:

• Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
• Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).

Поскольку коэффициент $k=12$ положителен ($k > 0$), ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения графика найдём несколько контрольных точек, подставляя значения $x$ в функцию:

• при $x=2$, $y=6$
• при $x=3$, $y=4$
• при $x=4$, $y=3$
• при $x=6$, $y=2$
• при $x=-2$, $y=-6$
• при $x=-3$, $y=-4$
• при $x=-4$, $y=-3$
• при $x=-6$, $y=-2$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, приближающимися к асимптотам, мы получим график функции.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в начале координат, асимптотами $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox). Ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{12}{x}$ (рассмотренной в пункте 1) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на 2 единицы вниз.

В результате сдвига асимптоты изменяются следующим образом:

• Вертикальная асимптота остаётся прежней: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота смещается на 2 единицы вниз: $y=-2$.

Центр симметрии гиперболы смещается в точку $(0, -2)$.

Найдём точки пересечения с осями координат:

• С осью Ox (полагаем $y=0$): $\frac{12}{x} - 2 = 0 \Rightarrow \frac{12}{x} = 2 \Rightarrow x = 6$. Точка пересечения: $(6, 0)$.
• С осью Oy (полагаем $x=0$): функция не определена в этой точке, так как $x=0$ является вертикальной асимптотой.

Для построения можно использовать точки из пункта 1, вычитая 2 из каждой координаты $y$.

• при $x=3$, $y = 4 - 2 = 2$
• при $x=4$, $y = 3 - 2 = 1$
• при $x=-3$, $y = -4 - 2 = -6$
• при $x=-4$, $y = -3 - 2 = -5$

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 2 единицы вниз. Асимптоты: $x=0$ и $y=-2$. График пересекает ось Ox в точке (6, 0).

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Ox на 3 единицы вправо.

Асимптоты графика смещаются:

• Вертикальная асимптота смещается на 3 единицы вправо: $x=3$.
• Горизонтальная асимптота остаётся прежней: $y=0$.

Центр симметрии гиперболы — точка $(3, 0)$. Ветви расположены в "новых" I и III четвертях относительно новых асимптот.

Найдём точки пересечения с осями координат:

• С осью Ox ($y=0$): $\frac{12}{x-3} = 0$. Уравнение не имеет решений, график не пересекает ось Ox (так как $y=0$ — асимптота).
• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{12}{0-3} = -4$. Точка пересечения: $(0, -4)$.

Для построения можно использовать точки из пункта 1, прибавляя 3 к каждой координате $x$.

• при $x=5$ ($2+3$), $y = 6$
• при $x=6$ ($3+3$), $y = 4$
• при $x=7$ ($4+3$), $y = 3$
• при $x=1$ ($-2+3$), $y = -6$

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 3 единицы вправо. Асимптоты: $x=3$ и $y=0$. График пересекает ось Oy в точке (0, -4).

Сначала преобразуем вид функции: $y = \frac{12}{3-x} = \frac{12}{-(x-3)} = -\frac{12}{x-3}$.

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x-3}$ (рассмотренного в пункте 3) путем симметричного отражения относительно оси Ox. Также его можно получить из графика $y = \frac{12}{x}$ путем отражения относительно оси Oy и последующего сдвига на 3 единицы вправо.

Асимптоты графика остаются такими же, как и у функции из пункта 3:

• Вертикальная асимптота: $x=3$.
• Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Из-за знака "минус" в преобразованном виде функции ($-\frac{12}{x-3}$), ветви гиперболы теперь расположены в "новых" II и IV четвертях относительно асимптот $x=3, y=0$.

Найдём точки пересечения с осями координат:

• С осью Ox ($y=0$): нет пересечений.
• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{12}{3-0} = 4$. Точка пересечения: $(0, 4)$.

Некоторые точки для построения:

• при $x=2$, $y = \frac{12}{3-2} = 12$
• при $x=1$, $y = \frac{12}{3-1} = 6$
• при $x=-1$, $y = \frac{12}{3-(-1)} = 3$
• при $x=4$, $y = \frac{12}{3-4} = -12$
• при $x=5$, $y = \frac{12}{3-5} = -6$

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=3$ и $y=0$. Ветви расположены во второй и четвертой "новых" четвертях, образованных асимптотами. График пересекает ось Oy в точке (0, 4).

Это дробно-линейная функция. Для удобства построения графика выделим целую часть из дроби:

$y = \frac{4x}{x-3} = \frac{4x - 12 + 12}{x-3} = \frac{4(x-3) + 12}{x-3} = \frac{4(x-3)}{x-3} + \frac{12}{x-3} = 4 + \frac{12}{x-3}$.

Таким образом, функция приведена к виду $y = \frac{12}{x-3} + 4$.

Её график можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ с помощью двух параллельных переносов:

1. Сдвиг на 3 единицы вправо по оси Ox (получаем $y = \frac{12}{x-3}$).
2. Сдвиг полученного графика на 4 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
• Горизонтальная асимптота: $y=4$.

Центр симметрии гиперболы — точка $(3, 4)$. Ветви расположены в "новых" I и III четвертях относительно асимптот.

Найдём точки пересечения с осями координат:

• С осью Ox ($y=0$): $\frac{4x}{x-3} = 0 \Rightarrow 4x=0 \Rightarrow x=0$.
• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4 \cdot 0}{0-3} = 0$.

График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Некоторые точки для построения:

• при $x=5$, $y = 4 + \frac{12}{5-3} = 4 + 6 = 10$
• при $x=6$, $y = 4 + \frac{12}{6-3} = 4 + 4 = 8$
• при $x=9$, $y = 4 + \frac{12}{9-3} = 4 + 2 = 6$
• при $x=2$, $y = 4 + \frac{12}{2-3} = 4 - 12 = -8$
• при $x=1$, $y = 4 + \frac{12}{1-3} = 4 - 6 = -2$

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх. Асимптоты: $x=3$ и $y=4$. График проходит через начало координат.