Номер 21, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Постройте график функции:

1) $y = (2x + 3)^2 - 1;$

2) $y = \left(\frac{1}{2}x + 3\right)^2 - 1.$

Графиком данной функции является парабола. Для её построения можно использовать преобразования графика базовой функции $y = x^2$ или найти её ключевые точки.

Способ 1: Преобразования графика

Преобразуем исходное уравнение, чтобы выделить стандартный вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$:
$y = (2x + 3)^2 - 1 = (2(x + \frac{3}{2}))^2 - 1 = 4(x + 1.5)^2 - 1$.

График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ следующими преобразованиями:

1. Растяжение вдоль оси OY в 4 раза: $y = 4x^2$.
2. Сдвиг влево на 1.5 единицы: $y = 4(x + 1.5)^2$.
3. Сдвиг вниз на 1 единицу: $y = 4(x + 1.5)^2 - 1$.

Способ 2: Построение по ключевым точкам

1. Вершина параболы. Из уравнения $y = 4(x + 1.5)^2 - 1$ видно, что координаты вершины параболы: $(x_0; y_0) = (-1.5; -1)$.

2. Ось симметрии. Вертикальная прямая, проходящая через вершину: $x = -1.5$.

3. Направление ветвей. Коэффициент при квадрате $a = 4 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY (абсцисса $x=0$):
  $y = (2 \cdot 0 + 3)^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.
  Точка пересечения с OY: $(0; 8)$.
• С осью OX (ордината $y=0$):
  $0 = (2x + 3)^2 - 1$
  $(2x + 3)^2 = 1$
  $2x + 3 = 1$ или $2x + 3 = -1$
  $2x = -2$ или $2x = -4$
  $x_1 = -1$ или $x_2 = -2$
  Точки пересечения с OX: $(-1; 0)$ и $(-2; 0)$.

5. Дополнительные точки. Найдем точку, симметричную точке $(0; 8)$ относительно оси симметрии $x = -1.5$. Её абсцисса будет $x = -1.5 - 1.5 = -3$. Ордината останется той же. Получаем точку $(-3; 8)$.

Отметим найденные точки $(-1.5; -1)$, $(-1; 0)$, $(-2; 0)$, $(0; 8)$, $(-3; 8)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = (2x + 3)^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-1.5; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0; 8)$ и ось OX в точках $(-1; 0)$ и $(-2; 0)$.

Графиком этой функции также является парабола. Построим её, найдя ключевые точки.

1. Преобразование уравнения. Приведём уравнение к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$:
$y = (\frac{1}{2}x + 3)^2 - 1 = (\frac{1}{2}(x + 6))^2 - 1 = \frac{1}{4}(x + 6)^2 - 1$.

2. Вершина параболы. Из полученного уравнения находим координаты вершины: $(x_0; y_0) = (-6; -1)$.

3. Ось симметрии. Прямая $x = -6$.

4. Направление ветвей. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Парабола будет "шире", чем $y=x^2$.

5. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY (при $x=0$):
  $y = (\frac{1}{2} \cdot 0 + 3)^2 - 1 = 3^2 - 1 = 8$.
  Точка пересечения с OY: $(0; 8)$.
• С осью OX (при $y=0$):
  $0 = (\frac{1}{2}x + 3)^2 - 1$
  $(\frac{1}{2}x + 3)^2 = 1$
  $\frac{1}{2}x + 3 = 1$ или $\frac{1}{2}x + 3 = -1$
  $\frac{1}{2}x = -2$ или $\frac{1}{2}x = -4$
  $x_1 = -4$ или $x_2 = -8$
  Точки пересечения с OX: $(-4; 0)$ и $(-8; 0)$.

6. Дополнительные точки. Точка, симметричная точке $(0; 8)$ относительно оси $x = -6$, имеет абсциссу $x = -6 - 6 = -12$. Получаем точку $(-12; 8)$.

Отметим точки $(-6; -1)$, $(-4; 0)$, $(-8; 0)$, $(0; 8)$, $(-12; 8)$ на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2}x + 3)^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-6; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0; 8)$ и ось OX в точках $(-4; 0)$ и $(-8; 0)$.