Номер 22, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3x+2}$;

2) $y = \frac{1}{2-3x}$;

3) $y = \frac{2}{3x+2}-3$.

Для построения графиков данных функций, которые являются гиперболами, определим их асимптоты, точки пересечения с осями координат и несколько дополнительных точек.

Данная функция является дробно-рациональной, ее график — гипербола. Построим его по шагам.

1. Область определения функции.
   Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
   $3x + 2 \neq 0$
   $3x \neq -2$
   $x \neq -\frac{2}{3}$
   Область определения: $D(y) = (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{2}{3}; +\infty)$.
2. Асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: прямая $x = -\frac{2}{3}$.
   • Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, значение дроби $\frac{1}{3x+2}$ стремится к нулю, следовательно, $y \to 0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$ (ось Ox).
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (при $x=0$):
     $y = \frac{1}{3 \cdot 0 + 2} = \frac{1}{2}$.
     Точка пересечения с Oy: $(0; \frac{1}{2})$.
   • С осью Ox (при $y=0$):
     $\frac{1}{3x+2} = 0$.
     Это уравнение не имеет решений, значит, график не пересекает ось Ox.
4. Дополнительные точки для построения.
   Возьмем несколько значений $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты:
   • при $x=-1$, $y = \frac{1}{3(-1)+2} = \frac{1}{-1} = -1$. Точка $(-1; -1)$.
   • при $x=-2$, $y = \frac{1}{3(-2)+2} = \frac{1}{-4} = -0.25$. Точка $(-2; -0.25)$.
   • при $x=1$, $y = \frac{1}{3(1)+2} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка $(1; 0.2)$.

График функции — гипербола с асимптотами $x = -\frac{2}{3}$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3x+2}$ — это гипербола, полученная из графика $y=\frac{1}{3x}$ сдвигом влево на $\frac{2}{3}$ единицы. Вертикальная асимптота $x = -\frac{2}{3}$, горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит через точки $(-1; -1)$, $(0; 0.5)$, $(1; 0.2)$.

Эта функция также является дробно-рациональной, ее график — гипербола.

1. Область определения функции.
   $2 - 3x \neq 0$
   $3x \neq 2$
   $x \neq \frac{2}{3}$
   Область определения: $D(y) = (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.
2. Асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: прямая $x = \frac{2}{3}$.
   • Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$ (ось Ox).
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (при $x=0$):
     $y = \frac{1}{2 - 3 \cdot 0} = \frac{1}{2}$.
     Точка пересечения с Oy: $(0; \frac{1}{2})$.
   • С осью Ox (при $y=0$):
     $\frac{1}{2-3x} = 0$.
     Уравнение не имеет решений, график не пересекает ось Ox.
4. Дополнительные точки для построения.
   • при $x=1$, $y = \frac{1}{2-3(1)} = \frac{1}{-1} = -1$. Точка $(1; -1)$.
   • при $x=0$, $y = \frac{1}{2}$. Точка $(0; 0.5)$.
   • при $x=-1$, $y = \frac{1}{2-3(-1)} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка $(-1; 0.2)$.

Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{-(3x-2)} = -\frac{1}{3x-2}$. Это означает, что ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x = \frac{2}{3}$ и $y=0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2-3x}$ — это гипербола. Вертикальная асимптота $x = \frac{2}{3}$, горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит через точки $(-1; 0.2)$, $(0; 0.5)$, $(1; -1)$. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

График этой функции — гипербола, полученная преобразованиями графика функции $y = \frac{2}{3x+2}$.

1. Область определения функции.
   Знаменатель не равен нулю: $3x+2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}$.
   Область определения: $D(y) = (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{2}{3}; +\infty)$.
2. Асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: прямая $x = -\frac{2}{3}$.
   • Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $\frac{2}{3x+2} \to 0$, следовательно, $y \to 0 - 3 = -3$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-3$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   • С осью Oy (при $x=0$):
     $y = \frac{2}{3 \cdot 0 + 2} - 3 = \frac{2}{2} - 3 = 1 - 3 = -2$.
     Точка пересечения с Oy: $(0; -2)$.
   • С осью Ox (при $y=0$):
     $\frac{2}{3x+2} - 3 = 0 \implies \frac{2}{3x+2} = 3 \implies 2 = 3(3x+2) \implies 2 = 9x+6 \implies 9x = -4 \implies x = -\frac{4}{9}$.
     Точка пересечения с Ox: $(-\frac{4}{9}; 0)$.
4. Дополнительные точки для построения.
   • при $x=-1$, $y = \frac{2}{3(-1)+2} - 3 = \frac{2}{-1} - 3 = -2 - 3 = -5$. Точка $(-1; -5)$.
   • при $x=1$, $y = \frac{2}{3(1)+2} - 3 = \frac{2}{5} - 3 = 0.4 - 3 = -2.6$. Точка $(1; -2.6)$.

График данной функции — это график функции $y = \frac{2}{3x+2}$ (аналогичен графику из пункта 1, но растянут в 2 раза вдоль оси Oy), сдвинутый на 3 единицы вниз. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот $x = -\frac{2}{3}$ и $y=-3$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{3x+2}-3$ — это гипербола. Вертикальная асимптота $x = -\frac{2}{3}$, горизонтальная асимптота $y=-3$. График пересекает оси в точках $(-\frac{4}{9}; 0)$ и $(0; -2)$ и проходит через точку $(-1; -5)$.