Номер 25, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = x^2 - 31$;

2) $y = \frac{1}{x^8}$;

3) $y = -7$.

Функция является обратимой, если она является взаимно-однозначной (инъективной), то есть каждому значению из области значений функции соответствует ровно одно значение аргумента из области определения. Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$), для которых значения функции совпадают: $y(x_1) = y(x_2)$.

1) Рассмотрим функцию $y = x^2 - 31$.
Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Возьмем два различных значения аргумента, например, $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y(x_1) = y(-2) = (-2)^2 - 31 = 4 - 31 = -27$.
$y(x_2) = y(2) = 2^2 - 31 = 4 - 31 = -27$.
Таким образом, двум разным значениям аргумента ($x_1 = -2$ и $x_2 = 2$) соответствует одно и то же значение функции ($y = -27$). Следовательно, функция не является взаимно-однозначной и, значит, не является обратимой.
Ответ: Функция не является обратимой, так как разным значениям аргумента, например $x=2$ и $x=-2$, соответствует одно и то же значение функции $y=-27$.

2) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^8}$.
Область определения этой функции — все действительные числа, кроме нуля ($x \neq 0$).
Возьмем два различных значения аргумента, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y(x_1) = y(-1) = \frac{1}{(-1)^8} = \frac{1}{1} = 1$.
$y(x_2) = y(1) = \frac{1}{1^8} = \frac{1}{1} = 1$.
Таким образом, двум разным значениям аргумента ($x_1 = -1$ и $x_2 = 1$) соответствует одно и то же значение функции ($y = 1$). Следовательно, функция не является взаимно-однозначной и, значит, не является обратимой.
Ответ: Функция не является обратимой, так как разным значениям аргумента, например $x=1$ и $x=-1$, соответствует одно и то же значение функции $y=1$.

3) Рассмотрим функцию $y = -7$.
Это постоянная функция (константа). Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда равно $-7$.
Возьмем два любых различных значения аргумента, например, $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
$y(x_1) = y(0) = -7$.
$y(x_2) = y(5) = -7$.
Поскольку любым двум (и более) разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, данная функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: Функция не является обратимой, так как она является константой и принимает одно и то же значение $-7$ для всех значений аргумента из области определения.