Номер 31, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Равносильны ли неравенства:

1) $x - 24 > -12$ и $-6x < -72$;

2) $(x - 3)^2 (x + 1) > 0$ и $x + 1 > 0$;

3) $(x - 3)^2 (x + 1) \ge 0$ и $x + 1 \ge 0$;

4) $\frac{1}{x} < 5$ и $x > 5$;

5) $x^2 \le 4x$ и $x \le 4$;

6) $\sqrt{x - 5} < -4$ и $(x - 5)^2 \le 0$;

7) $\sqrt{x - 5} \ge -4$ и $(x - 5)^2 \ge 0$;

8) $\sqrt{x - 5} < -4$ и $(x - 5)^2 < 0?

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1) $x - 24 > -12$ и $-6x < -72$

Решим первое неравенство: $x - 24 > -12$.

Прибавим 24 к обеим частям неравенства:

$x > -12 + 24$

$x > 12$

Множество решений первого неравенства: $(12, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $-6x < -72$.

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-72}{-6}$

$x > 12$

Множество решений второго неравенства: $(12, +\infty)$.

Так как множества решений обоих неравенств совпадают, неравенства равносильны.

Ответ: Да.

2) $(x - 3)^2(x + 1) > 0$ и $x + 1 > 0$

Решим первое неравенство: $(x - 3)^2(x + 1) > 0$.

Выражение $(x - 3)^2$ неотрицательно для любого $x$ (то есть $(x - 3)^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля.

Таким образом, должны выполняться условия:

1) $(x - 3)^2 > 0$, что равносильно $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.

2) $x + 1 > 0$, что равносильно $x > -1$.

Объединяя эти условия, получаем, что $x > -1$ и $x \ne 3$.

Множество решений первого неравенства: $(-1, 3) \cup (3, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 1 > 0$.

$x > -1$.

Множество решений второго неравенства: $(-1, +\infty)$.

Множество решений первого неравенства не содержит число 3, в то время как множество решений второго неравенства его содержит. Следовательно, множества решений не совпадают, и неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

3) $(x - 3)^2(x + 1) \ge 0$ и $x + 1 \ge 0$

Решим первое неравенство: $(x - 3)^2(x + 1) \ge 0$.

Выражение $(x - 3)^2$ всегда неотрицательно ($ \ge 0 $). Произведение неотрицательного множителя $(x - 3)^2$ и множителя $(x+1)$ будет неотрицательным в двух случаях:

1) Если $(x - 3)^2 > 0$ (то есть $x \ne 3$) и $x + 1 \ge 0$ (то есть $x \ge -1$). Объединяя, получаем $x \ge -1$ и $x \ne 3$.

2) Если $(x - 3)^2 = 0$ (то есть $x = 3$). В этом случае неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=3$ является решением.

Объединяя оба случая, получаем, что решением является множество всех $x \ge -1$.

Множество решений первого неравенства: $[-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 1 \ge 0$.

$x \ge -1$.

Множество решений второго неравенства: $[-1, +\infty)$.

Так как множества решений обоих неравенств совпадают, неравенства равносильны.

Ответ: Да.

4) $\frac{1}{x} < 5$ и $x > 5$

Решим первое неравенство: $\frac{1}{x} < 5$.

Перенесем 5 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{x} - 5 < 0$

$\frac{1 - 5x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $1 - 5x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$; $x = 0$.

Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{1}{5})$ и $(\frac{1}{5}, +\infty)$. Проверяя знак выражения в каждом интервале, находим, что оно отрицательно при $x < 0$ и при $x > \frac{1}{5}$.

Множество решений первого неравенства: $(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{5}, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x > 5$.

Множество решений второго неравенства: $(5, +\infty)$.

Множества решений не совпадают. Например, число -1 является решением первого неравенства, но не второго. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

5) $x^2 \le 4x$ и $x \le 4$

Решим первое неравенство: $x^2 \le 4x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=4$. Так как это парабола с ветвями вверх, значения меньше или равны нулю находятся между корнями (включая сами корни).

Множество решений первого неравенства: $[0, 4]$.

Решим второе неравенство: $x \le 4$.

Множество решений второго неравенства: $(-\infty, 4]$.

Множества решений не совпадают. Например, число -1 является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

6) $\sqrt{x-5} < -4$ и $(x-5)^2 \le 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x-5} < -4$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x-5} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 5$). Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа -4.

Следовательно, первое неравенство не имеет решений.

Множество решений первого неравенства: $\emptyset$ (пустое множество).

Решим второе неравенство: $(x-5)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x-5)^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $(x-5)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x-5)^2 = 0$.

$(x-5)^2 = 0 \Rightarrow x-5=0 \Rightarrow x=5$.

Множество решений второго неравенства состоит из одного числа: $\{5\}$.

Множества решений (пустое множество и множество $\{5\}$) не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

7) $\sqrt{x-5} \ge -4$ и $(x-5)^2 \ge 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x-5} \ge -4$.

Сначала найдем область определения (ОДЗ) неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$.

На всей области определения ($x \ge 5$) левая часть неравенства $\sqrt{x-5}$ является неотрицательным числом. Любое неотрицательное число всегда больше или равно отрицательному числу -4. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из его области определения.

Множество решений первого неравенства: $[5, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-5)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Множество решений второго неравенства: $(-\infty, +\infty)$.

Множества решений $[5, +\infty)$ и $(-\infty, +\infty)$ не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

8) $\sqrt{x-5} < -4$ и $(x-5)^2 < 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x-5} < -4$.

Арифметический квадратный корень $\sqrt{x-5}$ по определению не может быть отрицательным. Следовательно, он не может быть меньше -4.

Первое неравенство не имеет решений.

Множество решений первого неравенства: $\emptyset$ (пустое множество).

Решим второе неравенство: $(x-5)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство также не имеет решений.

Множество решений второго неравенства: $\emptyset$ (пустое множество).

Так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми), неравенства равносильны.

Ответ: Да.