Номер 37, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Решите неравенство:

1) $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 > 0;$

2) $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 \geq 0;$

3) $(x+2)^2(x-3)^3(x-4)^4(x-6)^5 \leq 0.$

1) Решим неравенство $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни левой части неравенства, решив уравнение $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 = 0$.
Корнями являются $x = -2$, $x = 3$ и $x = 4$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$, $(3; 4)$, $(4; \infty)$.

Множители $(x+2)^2$ и $(x-3)^4$ всегда неотрицательны, так как находятся в четной степени. Для выполнения строгого неравенства они должны быть строго больше нуля, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 3$.
Таким образом, знак всего выражения совпадает со знаком множителя $(x-4)^3$.

Неравенство сводится к решению системы:
$\begin{cases} (x-4)^3 > 0 \\ x \neq -2 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x-4 > 0$, откуда $x > 4$.
Условие $x > 4$ автоматически удовлетворяет условиям $x \neq -2$ и $x \neq 3$.
Следовательно, решением является интервал $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (4; \infty)$.

2) Решим неравенство $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 \ge 0$.

Это неравенство отличается от предыдущего тем, что оно нестрогое. Это означает, что в дополнение к интервалам, где выражение строго больше нуля, мы должны включить в решение точки, где оно равно нулю.

Из пункта 1) мы знаем, что выражение больше нуля при $x \in (4; \infty)$.

Выражение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$
$(x-3)^4 = 0 \implies x = 3$
$(x-4)^3 = 0 \implies x = 4$

Объединим полученные результаты: интервал $(4; \infty)$ и точки $\{-2, 3, 4\}$.
Объединение $(4; \infty)$ и точки $x=4$ дает луч $[4; \infty)$.
Точки $x=-2$ и $x=3$ являются изолированными решениями.

Таким образом, полное решение: $x \in \{-2\} \cup \{3\} \cup [4; \infty)$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup \{3\} \cup [4; \infty)$.

3) Решим неравенство $(x+2)^2(x-3)^3(x-4)^4(x-6)^5 \le 0$ методом интервалов.

Найдем корни левой части: $x=-2$, $x=3$, $x=4$, $x=6$.
Определим кратность каждого корня:
- $x=-2$ имеет кратность 2 (четная).
- $x=3$ имеет кратность 3 (нечетная).
- $x=4$ имеет кратность 4 (четная).
- $x=6$ имеет кратность 5 (нечетная).

Нанесем корни на числовую ось и определим знаки выражения в полученных интервалах. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — нет.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(6; \infty)$, например $x=7$.
$(7+2)^2(7-3)^3(7-4)^4(7-6)^5 = (+)(+)(+)(+) > 0$. Знак "плюс".

Двигаясь справа налево по оси:
- Интервал $(4; 6)$: знак меняется (корень $x=6$ нечетной кратности) на "минус".
- Интервал $(3; 4)$: знак не меняется (корень $x=4$ четной кратности) и остается "минус".
- Интервал $(-2; 3)$: знак меняется (корень $x=3$ нечетной кратности) на "плюс".
- Интервал $(-\infty; -2)$: знак не меняется (корень $x=-2$ четной кратности) и остается "плюс".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Выражение меньше нуля на интервалах, где стоит знак "минус": $(3; 4) \cup (4; 6)$.
Выражение равно нулю в корнях: $x=-2$, $x=3$, $x=4$, $x=6$.

Объединяем полученные множества:
$((3; 4) \cup (4; 6)) \cup \{-2, 3, 4, 6\}$.
Включая точки $x=3$, $x=4$, $x=6$ в интервалы, получаем отрезок $[3; 6]$.
Точка $x=-2$ является изолированным решением.

Итоговое решение: $x \in \{-2\} \cup [3; 6]$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3; 6]$.