Номер 42, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите неравенство:

1) $\frac{x+2}{x-2} \ge \frac{4x-10}{x-2}$;

2) $\frac{3x}{2x-7} \le 1$;

3) $\frac{x^2+5x}{x-1} \ge \frac{14}{x-1}$;

4) $\frac{x^2-4x}{x-2} \le 3$.

1)

Исходное неравенство: $ \frac{x+2}{x-2} \ge \frac{4x-10}{x-2} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $ x-2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 2 $.
Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$ \frac{x+2}{x-2} - \frac{4x-10}{x-2} \ge 0 $

$ \frac{(x+2) - (4x-10)}{x-2} \ge 0 $

$ \frac{x+2 - 4x + 10}{x-2} \ge 0 $

$ \frac{-3x + 12}{x-2} \ge 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ -3x + 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4 $. Так как неравенство нестрогое, эта точка включается в решение.
Нуль знаменателя: $ x - 2 = 0 \implies x = 2 $. Эта точка исключается из решения (ОДЗ).
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения в полученных интервалах:
- при $ x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{12}{-2} = -6 < 0 $ (знак "-")
- при $ 2 < x < 4 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{-9+12}{3-2} = 3 > 0 $ (знак "+")
- при $ x > 4 $ (например, $ x=5 $): $ \frac{-15+12}{5-2} = -1 < 0 $ (знак "-")
Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю, то есть интервал со знаком "+".
Решением является промежуток $ (2, 4] $.
Ответ: $ x \in (2, 4] $.

2)

Исходное неравенство: $ \frac{3x}{2x-7} \le 1 $.
ОДЗ: $ 2x-7 \neq 0 \implies x \neq 3.5 $.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3x}{2x-7} - 1 \le 0 $

$ \frac{3x - (2x-7)}{2x-7} \le 0 $

$ \frac{3x - 2x + 7}{2x-7} \le 0 $

$ \frac{x+7}{2x-7} \le 0 $

Применим метод интервалов.
Нуль числителя: $ x+7=0 \implies x=-7 $. Точка включается в решение.
Нуль знаменателя: $ 2x-7=0 \implies x=3.5 $. Точка исключается.
Определим знаки на интервалах:
- при $ x < -7 $ (например, $ x=-8 $): $ \frac{-1}{-23} > 0 $ (знак "+")
- при $ -7 < x < 3.5 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{7}{-7} < 0 $ (знак "-")
- при $ x > 3.5 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{11}{1} > 0 $ (знак "+")
Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком "-".
Решением является промежуток $ [-7, 3.5) $.
Ответ: $ x \in [-7, 3.5) $.

3)

Исходное неравенство: $ \frac{x^2+5x}{x-1} \ge \frac{14}{x-1} $.
ОДЗ: $ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.
Перенесем все в левую часть:

$ \frac{x^2+5x - 14}{x-1} \ge 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $ x^2+5x-14=0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = -7 $ и $ x_2 = 2 $. Эти точки включаются в решение.
Нуль знаменателя: $ x-1=0 \implies x=1 $. Эта точка исключается.
Запишем неравенство в виде $ \frac{(x+7)(x-2)}{x-1} \ge 0 $ и применим метод интервалов.
Определим знаки на интервалах:
- при $ x < -7 $ (например, $ x=-8 $): $ \frac{(-)( -)}{(-)} < 0 $ (знак "-")
- при $ -7 < x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(+)( -)}{(-)} > 0 $ (знак "+")
- при $ 1 < x < 2 $ (например, $ x=1.5 $): $ \frac{(+)( -)}{(+)} < 0 $ (знак "-")
- при $ x > 2 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $ (знак "+")
Нам нужны интервалы со знаком "+".
Решением является объединение промежутков $ [-7, 1) \cup [2, \infty) $.
Ответ: $ x \in [-7, 1) \cup [2, \infty) $.

4)

Исходное неравенство: $ \frac{x^2-4x}{x-2} \le 3 $.
ОДЗ: $ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $.
Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x^2-4x}{x-2} - 3 \le 0 $

$ \frac{x^2-4x - 3(x-2)}{x-2} \le 0 $

$ \frac{x^2-4x - 3x + 6}{x-2} \le 0 $

$ \frac{x^2 - 7x + 6}{x-2} \le 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $ x^2 - 7x + 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 6 $. Эти точки включаются в решение.
Нуль знаменателя: $ x-2=0 \implies x=2 $. Эта точка исключается.
Запишем неравенство в виде $ \frac{(x-1)(x-6)}{x-2} \le 0 $ и применим метод интервалов.
Определим знаки на интервалах:
- при $ x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $ (знак "-")
- при $ 1 < x < 2 $ (например, $ x=1.5 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 $ (знак "+")
- при $ 2 < x < 6 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 $ (знак "-")
- при $ x > 6 $ (например, $ x=7 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $ (знак "+")
Нам нужны интервалы со знаком "-".
Решением является объединение промежутков $ (-\infty, 1] \cup (2, 6] $.
Ответ: $ x \in (-\infty, 1] \cup (2, 6] $.