Страница 115 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x - 3}{x + 5} > 0;$

2) $\frac{x + 7}{x - 10} < 0;$

3) $\frac{x - 5,6}{x + 1,4} \ge 0;$

4) $\frac{x - 2,3}{x + 7,4} \le 0;$

5) $\frac{9 - x}{x - 20} \ge 0;$

6) $\frac{(x - 4)(x + 6)}{x + 4} \ge 0;$

7) $\frac{x - 4,6}{(x + 8)(x - 15)} \le 0;$

8) $\frac{x + 6,1}{(14 - x)(x - 16)} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x-3}{x+5} > 0$ методом интервалов.
Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x=3$ (нуль числителя) и $x=-5$ (нуль знаменателя).
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 3)$ и $(3; \infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x \in (-\infty; -5)$ (например, $x=-6$), дробь положительна: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (-5; 3)$ (например, $x=0$), дробь отрицательна: $\frac{-}{+} < 0$.
- При $x \in (3; \infty)$ (например, $x=4$), дробь положительна: $\frac{+}{+} > 0$.
Поскольку неравенство строгое ($>$), искомые значения $x$ находятся в интервалах, где дробь положительна. Концевые точки не включаются.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (3; \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x+7}{x-10} < 0$ методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $x=-7$ и $x=10$.
Интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; 10)$ и $(10; \infty)$.
Определим знаки дроби:
- При $x \in (-\infty; -7)$: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (-7; 10)$: $\frac{+}{-} < 0$.
- При $x \in (10; \infty)$: $\frac{+}{+} > 0$.
Неравенство строгое ($<$), поэтому выбираем интервал, где дробь отрицательна. Концевые точки не включаются.
Ответ: $x \in (-7; 10)$.

3) Решим неравенство $\frac{x-5,6}{x+1,4} \geq 0$ методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $x=5,6$ и $x=-1,4$.
Интервалы: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 5,6)$ и $(5,6; \infty)$.
Определим знаки дроби:
- При $x \in (-\infty; -1,4)$: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (-1,4; 5,6)$: $\frac{-}{+} < 0$.
- При $x \in (5,6; \infty)$: $\frac{+}{+} > 0$.
Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому выбираем интервалы, где дробь положительна, и включаем нуль числителя. Нуль знаменателя ($x=-1,4$) всегда исключается.
Ответ: $x \in (-\infty; -1,4) \cup [5,6; \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x-2,3}{x+7,4} \leq 0$ методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $x=2,3$ и $x=-7,4$.
Интервалы: $(-\infty; -7,4)$, $(-7,4; 2,3)$ и $(2,3; \infty)$.
Определим знаки дроби:
- При $x \in (-\infty; -7,4)$: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (-7,4; 2,3)$: $\frac{-}{+} < 0$.
- При $x \in (2,3; \infty)$: $\frac{+}{+} > 0$.
Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому выбираем интервал, где дробь отрицательна, и включаем нуль числителя. Нуль знаменателя ($x=-7,4$) исключается.
Ответ: $x \in (-7,4; 2,3]$.

5) Решим неравенство $\frac{9-x}{x-20} \geq 0$.
Чтобы использовать стандартный метод интервалов, приведем выражение к виду, где коэффициент при $x$ в каждом сомножителе положителен. Умножим неравенство на -1 и сменим знак:
$\frac{-(x-9)}{x-20} \geq 0 \implies \frac{x-9}{x-20} \leq 0$.
Нули числителя и знаменателя: $x=9$ и $x=20$.
Интервалы: $(-\infty; 9)$, $(9; 20)$ и $(20; \infty)$.
Определим знаки дроби $\frac{x-9}{x-20}$:
- При $x \in (-\infty; 9)$: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (9; 20)$: $\frac{+}{-} < 0$.
- При $x \in (20; \infty)$: $\frac{+}{+} > 0$.
Решаем неравенство $\frac{x-9}{x-20} \leq 0$. Выбираем интервал, где дробь отрицательна, включая нуль числителя ($x=9$) и исключая нуль знаменателя ($x=20$).
Ответ: $x \in [9; 20)$.

6) Решим неравенство $\frac{(x-4)(x+6)}{x+4} \geq 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x=4$, $x=-6$. Нуль знаменателя: $x=-4$.
Точки $-6, -4, 4$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; \infty)$.
Определим знаки выражения:
- При $x \in (-\infty; -6)$: $\frac{(-)(_)}{-} < 0$.
- При $x \in (-6; -4)$: $\frac{(-)(+)}{-} > 0$.
- При $x \in (-4; 4)$: $\frac{(-)(+)}{+} < 0$.
- При $x \in (4; \infty)$: $\frac{(+)(+)}{+} > 0$.
Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому выбираем интервалы, где выражение положительно, и включаем нули числителя. Нуль знаменателя ($x=-4$) исключается.
Ответ: $x \in [-6; -4) \cup [4; \infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{x-4,6}{(x+8)(x-15)} \leq 0$ методом интервалов.
Нуль числителя: $x=4,6$. Нули знаменателя: $x=-8$, $x=15$.
Точки $-8, 4.6, 15$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; 4,6)$, $(4,6; 15)$ и $(15; \infty)$.
Определим знаки выражения:
- При $x \in (-\infty; -8)$: $\frac{-}{(-)(_)} < 0$.
- При $x \in (-8; 4,6)$: $\frac{-}{(+)(_)} > 0$.
- При $x \in (4,6; 15)$: $\frac{+}{(+)(_)} < 0$.
- При $x \in (15; \infty)$: $\frac{+}{(+)(+)} > 0$.
Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому выбираем интервалы, где выражение отрицательно, и включаем нуль числителя. Нули знаменателя ($x=-8, x=15$) исключаются.
Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup [4,6; 15)$.

8) Решим неравенство $\frac{x+6,1}{(14-x)(x-16)} \geq 0$.
Преобразуем выражение, вынеся минус из скобки $(14-x)$, и умножим неравенство на -1, изменив знак:
$\frac{x+6,1}{-(x-14)(x-16)} \geq 0 \implies \frac{x+6,1}{(x-14)(x-16)} \leq 0$.
Нуль числителя: $x=-6,1$. Нули знаменателя: $x=14, x=16$.
Точки $-6.1, 14, 16$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -6,1)$, $(-6,1; 14)$, $(14; 16)$ и $(16; \infty)$.
Определим знаки выражения $\frac{x+6,1}{(x-14)(x-16)}$:
- При $x \in (-\infty; -6,1)$: $\frac{-}{(-)(_)} < 0$.
- При $x \in (-6,1; 14)$: $\frac{+}{(-)(_)} > 0$.
- При $x \in (14; 16)$: $\frac{+}{(+)(_)} < 0$.
- При $x \in (16; \infty)$: $\frac{+}{(+)(+)} > 0$.
Решаем неравенство $\frac{x+6,1}{(x-14)(x-16)} \leq 0$. Выбираем интервалы, где выражение отрицательно, включая нуль числителя ($x=-6,1$) и исключая нули знаменателя ($x=14, x=16$).
Ответ: $x \in (-\infty; -6,1] \cup (14; 16)$.

36. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 25) \le 0$;

2) $(x^2 + 6x + 5)(x^2 - 3x) > 0$;

3) $(x^2 + 9x + 18)(x^2 + 4x + 5) \ge 0$;

4) $\frac{x^2 + 10x + 9}{x^2 - 4x + 3} < 0$;

5) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 64} \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x^2 + 7x)(x^2 - 25) \le 0$.
Для начала разложим каждый из множителей на более простые:
$x^2 + 7x = x(x + 7)$
$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (разность квадратов)
Таким образом, неравенство принимает вид: $x(x + 7)(x - 5)(x + 5) \le 0$.
Для решения используем метод интервалов. Найдём корни левой части, то есть значения $x$, при которых выражение равно нулю:
$x = 0$, $x = -7$, $x = 5$, $x = -5$.
Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -7, -5, 0, 5. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), все точки будут включены в решение (закрашенные).
Эти точки делят числовую прямую на пять интервалов: $(-\infty; -7]$, $[-7; -5]$, $[-5; 0]$, $[0; 5]$, $[5; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмём точку из крайнего правого интервала, например $x=6$:
$6(6 + 7)(6 - 5)(6 + 5) = 6 \cdot 13 \cdot 1 \cdot 11 > 0$. Знак "+".
Все корни имеют кратность 1 (нечётную), поэтому при переходе через каждый корень знак будет меняться:
- на $(-\infty; -7)$ знак "+"
- на $(-7; -5)$ знак "-­"
- на $(-5; 0)$ знак "+"
- на $(0; 5)$ знак "-­"
- на $(5; +\infty)$ знак "+"
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $[-7, -5]$ и $[0, 5]$.
Ответ: $x \in [-7, -5] \cup [0, 5]$.

2) Решим неравенство $(x^2 + 6x + 5)(x^2 - 3x) > 0$.
Разложим каждый множитель на множители:
Для $x^2 + 6x + 5$, найдём корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$. Тогда $x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)$.
$x^2 - 3x = x(x - 3)$.
Неравенство принимает вид: $(x + 5)(x + 1)x(x - 3) > 0$.
Найдём корни левой части: $x = -5$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 3$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Неравенство строгое ($>$), поэтому все точки будут выколотыми.
Точки -5, -1, 0, 3 делят прямую на интервалы. Определим знаки на этих интервалах.
При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+)(+) > 0$. Знак "+".
Все корни имеют нечётную кратность, поэтому знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

3) Решим неравенство $(x^2 + 9x + 18)(x^2 + 4x + 5) \ge 0$.
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
Для $x^2 + 9x + 18$, найдём корни уравнения $x^2 + 9x + 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$. Тогда $x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)$.
Для $x^2 + 4x + 5$, найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), квадратный трёхчлен $x^2 + 4x + 5$ положителен при любых значениях $x$.
Так как $x^2 + 4x + 5 > 0$ всегда, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, при этом знак неравенства не изменится:
$(x + 3)(x + 6) \ge 0$.
Корни этого выражения: $x = -6$ и $x = -3$. Графиком функции $y=(x+3)(x+6)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны, когда $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня (включая сами корни).
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-3, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 + 10x + 9}{x^2 - 4x + 3} < 0$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^2 + 10x + 9$: корни $x_1 = -1, x_2 = -9$. $x^2 + 10x + 9 = (x + 1)(x + 9)$.
Знаменатель $x^2 - 4x + 3$: корни $x_1 = 1, x_2 = 3$. $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x + 9)(x + 1)}{(x - 1)(x - 3)} < 0$.
Применим метод интервалов. Найдём нули числителя ($x=-9, x=-1$) и нули знаменателя ($x=1, x=3$).
Отметим все точки на числовой прямой: -9, -1, 1, 3. Все точки выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.
Определим знаки дроби на полученных интервалах. При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
Все корни нечётной кратности, знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-9, -1) \cup (1, 3)$.

5) Решим неравенство $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 64} \ge 0$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^2 + x - 12$: корни $x_1 = 3, x_2 = -4$. $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.
Знаменатель $x^2 - 64$: $x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x + 4)(x - 3)}{(x + 8)(x - 8)} \ge 0$.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x = -4, x = 3$. Нули знаменателя: $x = -8, x = 8$.
Отметим точки на числовой прямой. Нули знаменателя (-8, 8) всегда выколотые. Нули числителя (-4, 3) закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\ge$).
Точки в порядке возрастания: -8, -4, 3, 8.
Определим знаки. При $x > 8$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup [-4, 3] \cup (8, +\infty)$.

37. Решите неравенство:

1) $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 > 0;$

2) $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 \geq 0;$

3) $(x+2)^2(x-3)^3(x-4)^4(x-6)^5 \leq 0.$

1) Решим неравенство $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни левой части неравенства, решив уравнение $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 = 0$.
Корнями являются $x = -2$, $x = 3$ и $x = 4$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$, $(3; 4)$, $(4; \infty)$.

Множители $(x+2)^2$ и $(x-3)^4$ всегда неотрицательны, так как находятся в четной степени. Для выполнения строгого неравенства они должны быть строго больше нуля, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 3$.
Таким образом, знак всего выражения совпадает со знаком множителя $(x-4)^3$.

Неравенство сводится к решению системы:
$\begin{cases} (x-4)^3 > 0 \\ x \neq -2 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x-4 > 0$, откуда $x > 4$.
Условие $x > 4$ автоматически удовлетворяет условиям $x \neq -2$ и $x \neq 3$.
Следовательно, решением является интервал $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (4; \infty)$.

2) Решим неравенство $(x+2)^2(x-3)^4(x-4)^3 \ge 0$.

Это неравенство отличается от предыдущего тем, что оно нестрогое. Это означает, что в дополнение к интервалам, где выражение строго больше нуля, мы должны включить в решение точки, где оно равно нулю.

Из пункта 1) мы знаем, что выражение больше нуля при $x \in (4; \infty)$.

Выражение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$
$(x-3)^4 = 0 \implies x = 3$
$(x-4)^3 = 0 \implies x = 4$

Объединим полученные результаты: интервал $(4; \infty)$ и точки $\{-2, 3, 4\}$.
Объединение $(4; \infty)$ и точки $x=4$ дает луч $[4; \infty)$.
Точки $x=-2$ и $x=3$ являются изолированными решениями.

Таким образом, полное решение: $x \in \{-2\} \cup \{3\} \cup [4; \infty)$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup \{3\} \cup [4; \infty)$.

3) Решим неравенство $(x+2)^2(x-3)^3(x-4)^4(x-6)^5 \le 0$ методом интервалов.

Найдем корни левой части: $x=-2$, $x=3$, $x=4$, $x=6$.
Определим кратность каждого корня:
- $x=-2$ имеет кратность 2 (четная).
- $x=3$ имеет кратность 3 (нечетная).
- $x=4$ имеет кратность 4 (четная).
- $x=6$ имеет кратность 5 (нечетная).

Нанесем корни на числовую ось и определим знаки выражения в полученных интервалах. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — нет.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(6; \infty)$, например $x=7$.
$(7+2)^2(7-3)^3(7-4)^4(7-6)^5 = (+)(+)(+)(+) > 0$. Знак "плюс".

Двигаясь справа налево по оси:
- Интервал $(4; 6)$: знак меняется (корень $x=6$ нечетной кратности) на "минус".
- Интервал $(3; 4)$: знак не меняется (корень $x=4$ четной кратности) и остается "минус".
- Интервал $(-2; 3)$: знак меняется (корень $x=3$ нечетной кратности) на "плюс".
- Интервал $(-\infty; -2)$: знак не меняется (корень $x=-2$ четной кратности) и остается "плюс".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Выражение меньше нуля на интервалах, где стоит знак "минус": $(3; 4) \cup (4; 6)$.
Выражение равно нулю в корнях: $x=-2$, $x=3$, $x=4$, $x=6$.

Объединяем полученные множества:
$((3; 4) \cup (4; 6)) \cup \{-2, 3, 4, 6\}$.
Включая точки $x=3$, $x=4$, $x=6$ в интервалы, получаем отрезок $[3; 6]$.
Точка $x=-2$ является изолированным решением.

Итоговое решение: $x \in \{-2\} \cup [3; 6]$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3; 6]$.

38. Решите неравенство:

1) $(x+4)^2(x^2 + 8x + 12) < 0;$

2) $(x+4)^2(x^2 + 8x + 12) \le 0;$

3) $(x+4)^2(x^2 + 8x + 12) > 0;$

4) $(x+4)^2(x^2 + 8x + 12) \ge 0;$

Для решения всех четырех неравенств сначала преобразуем выражение в левой части. Обозначим $f(x) = (x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12)$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 12$. Для этого решим уравнение $x^2 + 8x + 12 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 4}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 4}{2} = -2$

Таким образом, разложение на множители имеет вид: $x^2 + 8x + 12 = (x - (-6))(x - (-2)) = (x + 6)(x + 2)$.

Теперь исходное выражение можно записать как $f(x) = (x + 4)^2 (x + 6)(x + 2)$.

Для решения неравенств воспользуемся методом интервалов. Найдем нули функции $f(x)$, решив уравнение $f(x) = 0$:

$(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) = 0$

Корнями являются $x = -6$, $x = -4$ и $x = -2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -6)$, $(-6, -4)$, $(-4, -2)$ и $(-2, +\infty)$.

Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале. Заметим, что множитель $(x+4)^2$ всегда неотрицателен. Корень $x = -4$ имеет кратность 2 (четную), поэтому при переходе через эту точку знак функции $f(x)$ не меняется.

• В интервале $(-\infty, -6)$, например при $x = -7$: $f(-7) = (-3)^2(-1)(-5) > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-6, -4)$, например при $x = -5$: $f(-5) = (-1)^2(1)(-3) < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-4, -2)$, например при $x = -3$: $f(-3) = (1)^2(3)(-1) < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-2, +\infty)$, например при $x = 0$: $f(0) = (4)^2(6)(2) > 0$. Знак "+".

Теперь решим каждое неравенство.

1) $(x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12) < 0$

Неравенство эквивалентно $(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) < 0$. Мы ищем интервалы, где функция $f(x)$ строго отрицательна. Согласно анализу знаков, это происходит на интервалах $(-6, -4)$ и $(-4, -2)$. Поскольку неравенство строгое, точка $x=-4$, где функция равна нулю, не входит в решение.

Ответ: $x \in (-6, -4) \cup (-4, -2)$.

2) $(x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12) \le 0$

Неравенство эквивалентно $(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) \le 0$. Решение этого неравенства включает в себя все значения $x$, при которых $f(x) < 0$ или $f(x) = 0$. Из пункта 1 мы знаем, что $f(x) < 0$ при $x \in (-6, -4) \cup (-4, -2)$. Функция $f(x) = 0$ при $x = -6$, $x = -4$ и $x = -2$. Объединив эти множества, получим замкнутый промежуток.

Ответ: $x \in [-6, -2]$.

3) $(x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12) > 0$

Неравенство эквивалентно $(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) > 0$. Мы ищем интервалы, где функция $f(x)$ строго положительна. Согласно анализу знаков, это происходит на интервалах $(-\infty, -6)$ и $(-2, +\infty)$. Точки, где функция обращается в ноль, не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-2, +\infty)$.

4) $(x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12) \ge 0$

Неравенство эквивалентно $(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) \ge 0$. Решение этого неравенства включает все значения $x$, при которых $f(x) > 0$ или $f(x) = 0$. Из пункта 3 мы знаем, что $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -6) \cup (-2, +\infty)$. Функция $f(x) = 0$ при $x = -6$, $x = -4$ и $x = -2$. Объединив эти множества, получаем объединение двух лучей и изолированной точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup \{-4\} \cup [-2, +\infty)$.

39. Решите неравенство:

1) $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} > 0; $

2) $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \ge 0; $

3) $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} < 0; $

4) $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \le 0; $

5) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} > 0; $

6) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} \ge 0; $

7) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} < 0; $

8) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} \le 0. $

Для решения неравенств 1-4, сначала преобразуем выражение $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9}$.

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Разложим знаменатель на множители. Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Исходное выражение принимает вид: $\frac{(x-1)(x-4)}{(x-3)^2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-3)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

Заметим, что знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Следовательно, знак всей дроби на ОДЗ совпадает со знаком числителя $(x-1)(x-4)$.

1) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} > 0$

С учетом преобразований, неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x-1)(x-4) > 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Решим неравенство $(x-1)(x-4) > 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x=1$ и $x=4$. Наносим их на числовую ось и определяем знаки на интервалах. Парабола $y=(x-1)(x-4)$ ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.

Решением является объединение интервалов $(-\infty, 1) \cup (4, \infty)$. Точка $x=3$ не входит в это множество, поэтому условие ОДЗ выполнено.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

2) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \ge 0$

Неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x-1)(x-4) \ge 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Решением неравенства $(x-1)(x-4) \ge 0$ являются значения $x$, при которых выражение положительно или равно нулю. Равенство нулю достигается при $x=1$ и $x=4$. Положительные значения находятся на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(4, \infty)$.

Объединяя, получаем $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$. Точка $x=3$ не входит в это множество.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

3) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} < 0$

Неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x-1)(x-4) < 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Выражение $(x-1)(x-4)$ отрицательно на интервале между корнями, то есть $x \in (1, 4)$.

Теперь нужно учесть условие $x \neq 3$. Так как $3 \in (1, 4)$, мы должны исключить эту точку из интервала решения.

Таким образом, решение: $x \in (1, 3) \cup (3, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 3) \cup (3, 4)$.

4) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \le 0$

Неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x-1)(x-4) \le 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Решением неравенства $(x-1)(x-4) \le 0$ является отрезок $[1, 4]$.

Из этого отрезка необходимо исключить точку $x=3$ согласно ОДЗ.

Получаем объединение: $[1, 3) \cup (3, 4]$.

Ответ: $x \in [1, 3) \cup (3, 4]$.

Для решения неравенств 5-8, сначала преобразуем выражение $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12}$.

Разложим числитель на множители. Выражение $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$.

Разложим знаменатель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$.

Исходное выражение принимает вид: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-4)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -3$.

5) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} > 0$

Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)} > 0$.

Числитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $(x+2)^2 > 0 \implies x \neq -2$.

При $x \neq -2$, числитель положителен, и знак дроби определяется знаком знаменателя. Значит, нужно решить неравенство $(x-4)(x+3) > 0$.

Методом интервалов (корни -3 и 4) находим решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

Условие $x \neq -2$ выполняется для найденного множества. ОДЗ ($x \neq 4, x \neq -3$) также учтено.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

6) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} \ge 0$

Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)} \ge 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Дробь равна 0. Это происходит, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. $(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$. Эта точка входит в ОДЗ.

2. Дробь строго больше 0. Из предыдущего пункта, решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

Объединяя оба случая, получаем полное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup \{-2\} \cup (4, \infty)$.

7) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} < 0$

Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)} < 0$.

Числитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть строго положителен ($x \neq -2$), а знаменатель — отрицателен.

Решаем неравенство $(x-4)(x+3) < 0$. Методом интервалов (корни -3 и 4) находим решение: $x \in (-3, 4)$.

Из этого интервала мы должны исключить точку $x = -2$, так как при $x = -2$ дробь равна 0, что не удовлетворяет строгому неравенству.

Получаем решение: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

8) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} \le 0$

Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)} \le 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Дробь равна 0. Это происходит при $x = -2$.

2. Дробь строго меньше 0. Из предыдущего пункта, решение: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

Объединяя решение для равенства нулю (точка $x=-2$) и для строгого неравенства (интервалы $(-3, -2)$ и $(-2, 4)$), мы "закрываем" разрыв в точке -2. Решением будет весь интервал $(-3, 4)$.

Ответ: $x \in (-3, 4)$.