Страница 114 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Равносильны ли неравенства:

1) $x - 24 > -12$ и $-6x < -72$;

2) $(x - 3)^2 (x + 1) > 0$ и $x + 1 > 0$;

3) $(x - 3)^2 (x + 1) \ge 0$ и $x + 1 \ge 0$;

4) $\frac{1}{x} < 5$ и $x > 5$;

5) $x^2 \le 4x$ и $x \le 4$;

6) $\sqrt{x - 5} < -4$ и $(x - 5)^2 \le 0$;

7) $\sqrt{x - 5} \ge -4$ и $(x - 5)^2 \ge 0$;

8) $\sqrt{x - 5} < -4$ и $(x - 5)^2 < 0?

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1) $x - 24 > -12$ и $-6x < -72$

Решим первое неравенство: $x - 24 > -12$.

Прибавим 24 к обеим частям неравенства:

$x > -12 + 24$

$x > 12$

Множество решений первого неравенства: $(12, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $-6x < -72$.

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-72}{-6}$

$x > 12$

Множество решений второго неравенства: $(12, +\infty)$.

Так как множества решений обоих неравенств совпадают, неравенства равносильны.

Ответ: Да.

2) $(x - 3)^2(x + 1) > 0$ и $x + 1 > 0$

Решим первое неравенство: $(x - 3)^2(x + 1) > 0$.

Выражение $(x - 3)^2$ неотрицательно для любого $x$ (то есть $(x - 3)^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля.

Таким образом, должны выполняться условия:

1) $(x - 3)^2 > 0$, что равносильно $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.

2) $x + 1 > 0$, что равносильно $x > -1$.

Объединяя эти условия, получаем, что $x > -1$ и $x \ne 3$.

Множество решений первого неравенства: $(-1, 3) \cup (3, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 1 > 0$.

$x > -1$.

Множество решений второго неравенства: $(-1, +\infty)$.

Множество решений первого неравенства не содержит число 3, в то время как множество решений второго неравенства его содержит. Следовательно, множества решений не совпадают, и неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

3) $(x - 3)^2(x + 1) \ge 0$ и $x + 1 \ge 0$

Решим первое неравенство: $(x - 3)^2(x + 1) \ge 0$.

Выражение $(x - 3)^2$ всегда неотрицательно ($ \ge 0 $). Произведение неотрицательного множителя $(x - 3)^2$ и множителя $(x+1)$ будет неотрицательным в двух случаях:

1) Если $(x - 3)^2 > 0$ (то есть $x \ne 3$) и $x + 1 \ge 0$ (то есть $x \ge -1$). Объединяя, получаем $x \ge -1$ и $x \ne 3$.

2) Если $(x - 3)^2 = 0$ (то есть $x = 3$). В этом случае неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=3$ является решением.

Объединяя оба случая, получаем, что решением является множество всех $x \ge -1$.

Множество решений первого неравенства: $[-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 1 \ge 0$.

$x \ge -1$.

Множество решений второго неравенства: $[-1, +\infty)$.

Так как множества решений обоих неравенств совпадают, неравенства равносильны.

Ответ: Да.

4) $\frac{1}{x} < 5$ и $x > 5$

Решим первое неравенство: $\frac{1}{x} < 5$.

Перенесем 5 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{x} - 5 < 0$

$\frac{1 - 5x}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $1 - 5x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$; $x = 0$.

Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{1}{5})$ и $(\frac{1}{5}, +\infty)$. Проверяя знак выражения в каждом интервале, находим, что оно отрицательно при $x < 0$ и при $x > \frac{1}{5}$.

Множество решений первого неравенства: $(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{5}, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x > 5$.

Множество решений второго неравенства: $(5, +\infty)$.

Множества решений не совпадают. Например, число -1 является решением первого неравенства, но не второго. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

5) $x^2 \le 4x$ и $x \le 4$

Решим первое неравенство: $x^2 \le 4x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=4$. Так как это парабола с ветвями вверх, значения меньше или равны нулю находятся между корнями (включая сами корни).

Множество решений первого неравенства: $[0, 4]$.

Решим второе неравенство: $x \le 4$.

Множество решений второго неравенства: $(-\infty, 4]$.

Множества решений не совпадают. Например, число -1 является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

6) $\sqrt{x-5} < -4$ и $(x-5)^2 \le 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x-5} < -4$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x-5} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 5$). Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа -4.

Следовательно, первое неравенство не имеет решений.

Множество решений первого неравенства: $\emptyset$ (пустое множество).

Решим второе неравенство: $(x-5)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x-5)^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $(x-5)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x-5)^2 = 0$.

$(x-5)^2 = 0 \Rightarrow x-5=0 \Rightarrow x=5$.

Множество решений второго неравенства состоит из одного числа: $\{5\}$.

Множества решений (пустое множество и множество $\{5\}$) не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

7) $\sqrt{x-5} \ge -4$ и $(x-5)^2 \ge 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x-5} \ge -4$.

Сначала найдем область определения (ОДЗ) неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$.

На всей области определения ($x \ge 5$) левая часть неравенства $\sqrt{x-5}$ является неотрицательным числом. Любое неотрицательное число всегда больше или равно отрицательному числу -4. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из его области определения.

Множество решений первого неравенства: $[5, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-5)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Множество решений второго неравенства: $(-\infty, +\infty)$.

Множества решений $[5, +\infty)$ и $(-\infty, +\infty)$ не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: Нет.

8) $\sqrt{x-5} < -4$ и $(x-5)^2 < 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x-5} < -4$.

Арифметический квадратный корень $\sqrt{x-5}$ по определению не может быть отрицательным. Следовательно, он не может быть меньше -4.

Первое неравенство не имеет решений.

Множество решений первого неравенства: $\emptyset$ (пустое множество).

Решим второе неравенство: $(x-5)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство также не имеет решений.

Множество решений второго неравенства: $\emptyset$ (пустое множество).

Так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми), неравенства равносильны.

Ответ: Да.

32. Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) $x^5 = 16x^3$ и $x^2 = 16;$

2) $\frac{x + 9}{x + 9} = 1$ и $x - x = 0;$

3) $|x + 4| = 3$ и $(x + 4)^3 = 27;$

4) $\frac{x}{\sqrt{x - 5}} = \frac{25}{\sqrt{x - 5}}$ и $x = 25;$

5) $x^2 = 49$ и $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x + 5}} = 49 - \frac{1}{\sqrt{x + 5}};$

6) $\sqrt{x + 21} \cdot \sqrt{x - 12} = 0$ и $\sqrt{(x - 12)(x + 21)} = 0;$

7) $(x - 9)\sqrt{x + 34} = 0$ и $(x + 34)\sqrt{x - 9} = 0?

Проанализируем каждую пару уравнений, чтобы определить, является ли одно из них следствием другого. Уравнение $A$ является следствием уравнения $B$, если множество корней уравнения $B$ является подмножеством множества корней уравнения $A$.

Решим первое уравнение: $x^5 = 16x^3$. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель: $x^5 - 16x^3 = 0$, что равносильно $x^3(x^2 - 16) = 0$. Отсюда получаем, что либо $x^3 = 0$, либо $x^2 - 16 = 0$. Корни уравнения: $x = 0$, $x = 4$, $x = -4$. Множество решений первого уравнения $S_1 = \{-4, 0, 4\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 = 16$. Корни этого уравнения: $x = 4$ и $x = -4$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \{-4, 4\}$.

Так как множество решений второго уравнения $S_2$ является подмножеством множества решений первого уравнения $S_1$ ($S_2 \subset S_1$), то первое уравнение является следствием второго. Обратное неверно, так как $x=0$ является решением первого уравнения, но не второго.

Ответ: Первое уравнение $x^5 = 16x^3$ является следствием второго $x^2 = 16$.

Решим первое уравнение: $\frac{x+9}{x+9} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x+9 \neq 0$, то есть $x \neq -9$. На этой области уравнение является тождеством $1=1$. Таким образом, решением являются все действительные числа, кроме $x = -9$. Множество решений $S_1 = (-\infty, -9) \cup (-9, +\infty)$.

Решим второе уравнение: $x-x = 0$. Это уравнение упрощается до $0=0$, что является верным тождеством для любого действительного числа $x$. Множество решений $S_2 = (-\infty, +\infty)$ или $S_2 = \mathbb{R}$.

Так как множество решений первого уравнения $S_1$ является подмножеством множества решений второго уравнения $S_2$ ($S_1 \subset S_2$), то второе уравнение является следствием первого.

Ответ: Второе уравнение $x - x = 0$ является следствием первого $\frac{x+9}{x+9} = 1$.

Решим первое уравнение: $|x+4| = 3$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x+4 = 3$ или $x+4 = -3$. Решая их, получаем $x = -1$ и $x = -7$. Множество решений $S_1 = \{-7, -1\}$.

Решим второе уравнение: $(x+4)^3 = 27$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x+4 = \sqrt[3]{27}$, то есть $x+4 = 3$. Отсюда $x = -1$. Множество решений $S_2 = \{-1\}$.

Так как $S_2 \subset S_1$, то первое уравнение является следствием второго.

Ответ: Первое уравнение $|x+4| = 3$ является следствием второго $(x+4)^3 = 27$.

Решим первое уравнение: $\frac{x}{\sqrt{x-5}} = \frac{25}{\sqrt{x-5}}$. ОДЗ: $x-5 > 0$, то есть $x > 5$. На этой области можно умножить обе части на $\sqrt{x-5}$, получив $x = 25$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($25>5$), поэтому является корнем. Множество решений $S_1 = \{25\}$.

Решим второе уравнение: $x = 25$. Множество решений $S_2 = \{25\}$.

Так как $S_1 = S_2$, уравнения являются равносильными (эквивалентными). Это означает, что каждое уравнение является следствием другого.

Ответ: Уравнения равносильны, каждое является следствием другого.

Решим первое уравнение: $x^2 = 49$. Корни: $x = 7$ и $x = -7$. Множество решений $S_1 = \{-7, 7\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x+5}} = 49 - \frac{1}{\sqrt{x+5}}$. ОДЗ: $x+5 > 0$, то есть $x > -5$. На этой области можно прибавить к обеим частям $\frac{1}{\sqrt{x+5}}$, получив $x^2 = 49$. Корни этого уравнения $x=7$ и $x=-7$. Проверяем по ОДЗ: $x=7$ подходит ($7>-5$), а $x=-7$ не подходит ($-7$ не больше $-5$). Таким образом, единственным решением является $x=7$. Множество решений $S_2 = \{7\}$.

Так как $S_2 \subset S_1$, то первое уравнение является следствием второго.

Ответ: Первое уравнение $x^2 = 49$ является следствием второго $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x+5}} = 49 - \frac{1}{\sqrt{x+5}}$.

Решим первое уравнение: $\sqrt{x+21} \cdot \sqrt{x-12} = 0$. ОДЗ определяется системой неравенств: $x+21 \ge 0$ и $x-12 \ge 0$. Отсюда $x \ge -21$ и $x \ge 12$. Итоговая ОДЗ: $x \ge 12$. На этой области произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $\sqrt{x+21}=0$ или $\sqrt{x-12}=0$. Первое дает $x=-21$, что не входит в ОДЗ. Второе дает $x=12$, что входит в ОДЗ. Множество решений $S_1 = \{12\}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{(x-12)(x+21)} = 0$. ОДЗ: $(x-12)(x+21) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -21] \cup [12, \infty)$. Возведя обе части в квадрат, получаем $(x-12)(x+21)=0$, откуда $x=12$ или $x=-21$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Множество решений $S_2 = \{-21, 12\}$.

Так как $S_1 \subset S_2$, то второе уравнение является следствием первого.

Ответ: Второе уравнение $\sqrt{(x-12)(x+21)} = 0$ является следствием первого $\sqrt{x+21} \cdot \sqrt{x-12} = 0$.

Решим первое уравнение: $(x-9)\sqrt{x+34} = 0$. ОДЗ: $x+34 \ge 0$, то есть $x \ge -34$. Произведение равно нулю, если $x-9=0$ или $\sqrt{x+34}=0$. Отсюда $x=9$ (удовлетворяет ОДЗ) и $x=-34$ (удовлетворяет ОДЗ). Множество решений $S_1 = \{-34, 9\}$.

Решим второе уравнение: $(x+34)\sqrt{x-9} = 0$. ОДЗ: $x-9 \ge 0$, то есть $x \ge 9$. Произведение равно нулю, если $x+34=0$ или $\sqrt{x-9}=0$. Первое дает $x=-34$, что не входит в ОДЗ. Второе дает $x=9$, что входит в ОДЗ. Множество решений $S_2 = \{9\}$.

Так как $S_2 \subset S_1$, то первое уравнение является следствием второго.

Ответ: Первое уравнение $(x-9)\sqrt{x+34} = 0$ является следствием второго $(x+34)\sqrt{x-9} = 0$.

33. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x \le -4$ и $x < 7$;

2) $x \ge 5$ и $x > 5$;

3) $|x| < 11$ и $x < 11$;

4) $x^2 > 64$ и $x > 8$?

Неравенство B является следствием неравенства A, если множество решений неравенства A является подмножеством множества решений неравенства B. Иными словами, если из истинности неравенства A всегда следует истинность неравенства B. Обозначим множество решений неравенства A как $S(A)$, а неравенства B как $S(B)$. Тогда B является следствием A, если $S(A) \subseteq S(B)$. Проанализируем каждую пару неравенств.

1) $x \le -4$ и $x < 7$

Пусть неравенство A — это $x \le -4$. Множество его решений $S(A) = (-\infty; -4]$.

Пусть неравенство B — это $x < 7$. Множество его решений $S(B) = (-\infty; 7)$.

Поскольку любое число, меньшее или равное -4, очевидно меньше 7, то каждое решение неравенства A является также решением неравенства B. Таким образом, множество $S(A)$ является подмножеством множества $S(B)$, то есть $S(A) \subseteq S(B)$.

Следовательно, неравенство $x < 7$ является следствием неравенства $x \le -4$.

Обратное неверно: например, $x=0$ является решением неравенства $x < 7$, но не является решением неравенства $x \le -4$.

Ответ: неравенство $x < 7$ является следствием неравенства $x \le -4$.

2) $x \ge 5$ и $x > 5$

Пусть неравенство A — это $x \ge 5$. Множество его решений $S(A) = [5; +\infty)$.

Пусть неравенство B — это $x > 5$. Множество его решений $S(B) = (5; +\infty)$.

Любое число, которое строго больше 5, также будет больше или равно 5. Значит, каждое решение неравенства B является также решением неравенства A. Таким образом, $S(B) \subseteq S(A)$.

Следовательно, неравенство $x \ge 5$ является следствием неравенства $x > 5$.

Обратное неверно: число $x=5$ является решением неравенства $x \ge 5$, но не является решением неравенства $x > 5$.

Ответ: неравенство $x \ge 5$ является следствием неравенства $x > 5$.

3) $|x| < 11$ и $x < 11$

Пусть неравенство A — это $|x| < 11$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-11 < x < 11$. Множество его решений $S(A) = (-11; 11)$.

Пусть неравенство B — это $x < 11$. Множество его решений $S(B) = (-\infty; 11)$.

Любое число, находящееся в интервале от -11 до 11, также меньше 11. Значит, каждое решение неравенства A является решением неравенства B. Таким образом, $S(A) \subseteq S(B)$.

Следовательно, неравенство $x < 11$ является следствием неравенства $|x| < 11$.

Обратное неверно: например, $x=-15$ является решением неравенства $x < 11$, но не является решением $|x| < 11$ (так как $|-15| = 15 \not< 11$).

Ответ: неравенство $x < 11$ является следствием неравенства $|x| < 11$.

4) $x^2 > 64$ и $x > 8$

Пусть неравенство A — это $x^2 > 64$. Решив его, получаем $|x| > 8$, что равносильно совокупности неравенств $x > 8$ или $x < -8$. Множество решений $S(A) = (-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$.

Пусть неравенство B — это $x > 8$. Множество его решений $S(B) = (8; +\infty)$.

Если число $x$ строго больше 8, то его квадрат $x^2$ будет строго больше $8^2=64$. Значит, каждое решение неравенства B является также решением неравенства A. Таким образом, $S(B) \subseteq S(A)$.

Следовательно, неравенство $x^2 > 64$ является следствием неравенства $x > 8$.

Обратное неверно: например, $x=-9$ является решением неравенства $x^2 > 64$ (так как $(-9)^2 = 81 > 64$), но не является решением неравенства $x > 8$.

Ответ: неравенство $x^2 > 64$ является следствием неравенства $x > 8$.

34. Решите неравенство:

1) $(x - 4,6)(x + 5) \leq 0;$

2) $(x + 12)(x - 4)(x - 20) > 0;$

3) $(3x + 5)(2x - 7)(x - 6) \leq 0;$

4) $(7 + x)(x - 2)(5 - x) > 0;$

5) $(x + 7,2)(3 - x)(6 - x) \leq 0;$

6) $(6x + 18)(4 - 16x)(7x - 21)(5 - 2x) \geq 0.$

1) $(x - 4,6)(x + 5) \le 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 4,6)(x + 5) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 4,6 = 0 \implies x_1 = 4,6$

$x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

Отметим найденные корни на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 4,6)$ и $(4,6; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из интервалов.

• В интервале $(4,6; +\infty)$, например при $x=5$: $(5 - 4,6)(5 + 5) = 0,4 \cdot 10 = 4 > 0$. Знак «+».
• В интервале $(-5; 4,6)$, например при $x=0$: $(0 - 4,6)(0 + 5) = -4,6 \cdot 5 = -23 < 0$. Знак «-».
• В интервале $(-\infty; -5)$, например при $x=-6$: $(-6 - 4,6)(-6 + 5) = -10,6 \cdot (-1) = 10,6 > 0$. Знак «+».

Нас интересует промежуток, где значение выражения меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервал со знаком «-». Поскольку неравенство нестрогое, концы интервала включаются в решение.

Ответ: $x \in [-5; 4,6]$.

2) $(x + 12)(x - 4)(x - 20) > 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 12)(x - 4)(x - 20) = 0$.

$x + 12 = 0 \implies x_1 = -12$

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

$x - 20 = 0 \implies x_3 = 20$

Отметим корни $-12, 4, 20$ на числовой прямой. Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(20; +\infty)$, взяв, например, $x=21$: $(21 + 12)(21 - 4)(21 - 20) > 0$. Знак «+».

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение строго больше нуля ($> 0$). Это интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-12; 4) \cup (20; +\infty)$.

3) $(3x + 5)(2x - 7)(x - 6) \le 0$

Найдем корни уравнения $(3x + 5)(2x - 7)(x - 6) = 0$.

$3x + 5 = 0 \implies x_1 = -5/3$

$2x - 7 = 0 \implies x_2 = 7/2 = 3,5$

$x - 6 = 0 \implies x_3 = 6$

Расположим корни на числовой прямой: $-5/3, 3,5, 6$. В крайнем правом интервале $(6; +\infty)$ выражение положительно. Знаки в интервалах чередуются: -, +, -, +.

Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty; -5/3] \cup [3,5; 6]$.

4) $(7 + x)(x - 2)(5 - x) > 0$

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Заметим, что $5 - x = -(x - 5)$.

$(x + 7)(x - 2)(-(x - 5)) > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$(x + 7)(x - 2)(x - 5) < 0$

Найдем корни уравнения $(x + 7)(x - 2)(x - 5) = 0$: $x_1 = -7, x_2 = 2, x_3 = 5$.

Отметим корни на числовой прямой. В крайнем правом интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение $(x + 7)(x - 2)(x - 5)$ меньше нуля ($< 0$). Это интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (2; 5)$.

5) $(x + 7,2)(3 - x)(6 - x) \le 0$

Преобразуем множители: $3 - x = -(x - 3)$ и $6 - x = -(x - 6)$.

Неравенство принимает вид: $(x + 7,2)(-(x - 3))(-(x - 6)) \le 0$.

Поскольку $(-1) \cdot (-1) = 1$, неравенство эквивалентно следующему:

$(x + 7,2)(x - 3)(x - 6) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x + 7,2)(x - 3)(x - 6) = 0$: $x_1 = -7,2, x_2 = 3, x_3 = 6$.

Применяем метод интервалов. В крайнем правом интервале $(6; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty; -7,2] \cup [3; 6]$.

6) $(6x + 18)(4 - 16x)(7x - 21)(5 - 2x) \ge 0$

Упростим выражение, вынеся общие множители из каждой скобки:

$6(x + 3) \cdot 4(1 - 4x) \cdot 7(x - 3) \cdot (5 - 2x) \ge 0$

Разделим обе части на положительное число $6 \cdot 4 \cdot 7 = 168$:

$(x + 3)(1 - 4x)(x - 3)(5 - 2x) \ge 0$

Приведем множители к стандартному виду: $1 - 4x = -(4x - 1)$ и $5 - 2x = -(2x - 5)$.

$(x + 3)(-(4x - 1))(x - 3)(-(2x - 5)) \ge 0$

Так как $(-1) \cdot (-1) = 1$, неравенство равносильно:

$(x + 3)(4x - 1)(x - 3)(2x - 5) \ge 0$

Найдем корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 1/4$, $x_3 = 3$, $x_4 = 5/2 = 2,5$.

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -3, 1/4, 2,5, 3. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: +, -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком «+», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1/4; 5/2] \cup [3; +\infty)$.