Страница 119 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases}y = -x^3, \\y = 2 - x;\end{cases}$

2) $\begin{cases}y = x^{-2}, \\y = \sqrt{x + 2}.\end{cases}$

Чтобы графически определить количество решений системы уравнений $ \begin{cases} y = -x^3 \\ y = 2 - x \end{cases} $, нужно построить графики функций $y = -x^3$ и $y = 2 - x$ в одной системе координат и найти число точек их пересечения.

График функции $y = -x^3$ — это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Она расположена во второй и четвертой координатных четвертях и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

При построении этих графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка лежит во второй координатной четверти. При $x \to -\infty$ график кубической параболы находится выше прямой, а при $x \to +\infty$ — ниже. Так как обе функции непрерывны, они пересекаются ровно один раз. Следовательно, система имеет одно решение. Ответ: 1

Чтобы графически определить количество решений системы уравнений $ \begin{cases} y = x^{-2} \\ y = \sqrt{x+2} \end{cases} $, нужно построить графики функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = \sqrt{x+2}$ и найти число точек их пересечения.

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ состоит из двух ветвей. Они расположены в первой и второй координатных четвертях, симметричны относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами графика. Функция всегда принимает положительные значения.

График функции $y = \sqrt{x+2}$ — это верхняя ветвь параболы, которая получается сдвигом графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси OX. Область определения функции — $x \ge -2$. График начинается в точке $(-2, 0)$ и монотонно возрастает.

При совместном построении графиков ищем точки их пересечения.
Во второй четверти (при $-2 \le x < 0$) графики пересекаются в точке $(-1, 1)$, так как при $x=-1$ оба уравнения дают $y=1$.
В первой четверти (при $x > 0$) ветвь графика $y = \frac{1}{x^2}$ убывает от $+\infty$ до 0, а график $y = \sqrt{x+2}$ возрастает от $\sqrt{2}$. Поскольку при $x$, стремящемся к нулю справа, график $y = \frac{1}{x^2}$ находится выше графика $y = \sqrt{x+2}$, а при увеличении $x$ он оказывается ниже, то графики обязательно пересекутся в одной точке и в этой четверти.
Всего получается две точки пересечения, значит, система имеет два решения. Ответ: 2

67. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 1, \\ x^{-4}, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$ Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Данная функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} x^4, & \text{если } x < 1 \\ x^{-4}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Постройте график функции

Для построения графика рассмотрим две его части на соответствующих промежутках.

1. При $x < 1$ строим график функции $y = x^4$. Это четная степенная функция, ее график похож на параболу, но с более крутыми ветвями. Он проходит через начало координат $(0, 0)$, которое является точкой минимума, и через точку $(-1, 1)$. При $x$, стремящемся к 1 слева, значение $y$ стремится к 1.

2. При $x \ge 1$ строим график функции $y = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$. Эта часть графика начинается в точке $(1, 1)$, так как $f(1) = 1^{-4} = 1$. При $x \to \infty$ график асимптотически приближается к оси Ox, оставаясь в первой четверти.

Поскольку предел функции слева в точке $x=1$ ($\lim_{x\to 1^-} x^4 = 1$) равен значению функции в этой точке ($f(1) = 1$), то функция является непрерывной. График представляет собой две кривые, соединенные в точке $(1,1)$.

Укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции

Пользуясь построенным графиком, определим промежутки монотонности.

• Функция убывает (график идет вниз при движении слева направо) на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, \infty)$.
• Функция возрастает (график идет вверх) на промежутке $[0, 1]$.

Ответ: промежутки возрастания: $[0, 1]$; промежутки убывания: $(-\infty, 0]$ и $[1, \infty)$.

68. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-3) > f(-2)$;

2) $f(-3) < f(2)$;

3) $f(-3) < f(-2)$;

4) $f(3) > f(-2)$?

Данная функция $f(x) = x^{-n}$ может быть записана как $f(x) = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число. Чётность или нечётность $n$ влияет на свойства функции, в частности на её поведение при отрицательных значениях $x$.

Если $n$ — чётное число.
Функция $f(x) = \frac{1}{x^n}$ будет чётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{x^n} = f(x)$. Для отрицательных $x$, функция возрастает. Например, если взять $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$, то $x_1 < x_2$. Так как $n$ чётное, $(-3)^n = 3^n$ и $(-2)^n = 2^n$. Поскольку $3^n > 2^n$, то $\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$, следовательно $f(-3) < f(-2)$. В общем случае, для $x_1 < x_2 < 0$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.

Если $n$ — нечётное число.
Функция $f(x) = \frac{1}{x^n}$ будет нечётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{-x^n} = -f(x)$. Для отрицательных $x$, функция убывает. Например, для $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$, имеем $x_1 < x_2$. Так как $n$ нечётное, $(-3)^n = -3^n$ и $(-2)^n = -2^n$. Поскольку $3^n > 2^n$, то $\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$ и, умножая на -1, получаем $-\frac{1}{3^n} > -\frac{1}{2^n}$, следовательно $f(-3) > f(-2)$. В общем случае, для $x_1 < x_2 < 0$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим каждое условие задачи.

1) f(-3) > f(-2)

Мы сравниваем значения функции в точках $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Условие $f(-3) > f(-2)$ при $-3 < -2$ означает, что функция на этом участке убывает. Как показано выше, убывание функции на промежутке $(-\infty, 0)$ характерно для нечётного показателя $n$.
Ответ: нечётное.

2) f(-3) < f(2)

Подставим значения в неравенство: $(-3)^{-n} < 2^{-n}$, что равносильно $\frac{1}{(-3)^n} < \frac{1}{2^n}$.
- Если $n$ чётное, неравенство принимает вид $\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$, что эквивалентно $3^n > 2^n$. Это верно для любого натурального $n$.
- Если $n$ нечётное, неравенство принимает вид $\frac{1}{-3^n} < \frac{1}{2^n}$, то есть $-\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$. Это также верно, так как отрицательное число всегда меньше положительного.
Неравенство выполняется для любого натурального $n$, поэтому по данному условию определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: определить чётность невозможно.

3) f(-3) < f(-2)

Условие $f(-3) < f(-2)$ при $-3 < -2$ означает, что функция на этом участке возрастает. Как показано выше, возрастание функции на промежутке $(-\infty, 0)$ характерно для чётного показателя $n$.
Ответ: чётное.

4) f(3) > f(-2)

Подставим значения в неравенство: $3^{-n} > (-2)^{-n}$, что равносильно $\frac{1}{3^n} > \frac{1}{(-2)^n}$.
- Если $n$ чётное, неравенство принимает вид $\frac{1}{3^n} > \frac{1}{2^n}$, что эквивалентно $3^n < 2^n$. Это неверно для любого натурального $n$.
- Если $n$ нечётное, неравенство принимает вид $\frac{1}{3^n} > \frac{1}{-2^n}$, то есть $\frac{1}{3^n} > -\frac{1}{2^n}$. Это верно, так как положительное число всегда больше отрицательного.
Следовательно, условие выполняется только для нечётных $n$.
Ответ: нечётное.

69. Найдите значение корня:

1) $\sqrt[4]{16};$

2) $\sqrt[3]{0,027};$

3) $\sqrt[5]{-100000};$

4) $\sqrt[3]{1\frac{61}{64}};$

5) $-3\sqrt[3]{-0,000343}.$

1) Чтобы найти значение корня четвертой степени из 16, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 16.
Известно, что $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Следовательно, $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Ответ: 2

2) Найдем значение кубического корня из 0,027. Нужно найти число, которое при возведении в куб (третью степень) равно 0,027.
Представим 0,027 как степень числа: $0.027 = 0.3 \times 0.3 \times 0.3 = (0.3)^3$.
Таким образом, $\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{(0.3)^3} = 0.3$.
Ответ: 0.3

3) Найдем значение корня пятой степени из -100 000. Так как показатель корня (5) — нечетное число, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.
$\sqrt[5]{-100000} = -\sqrt[5]{100000}$.
Мы знаем, что $10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100000$.
Следовательно, $\sqrt[5]{-100000} = \sqrt[5]{(-10)^5} = -10$.
Ответ: -10

4) Чтобы найти значение кубического корня из смешанного числа $1\frac{61}{64}$, сначала преобразуем его в неправильную дробь.
$1\frac{61}{64} = \frac{1 \times 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$.
Теперь извлечем кубический корень из дроби, используя свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}$.
Найдем кубические корни числителя и знаменателя: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3=125$, и $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3=64$.
Таким образом, $\sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$

5) Найдем значение выражения $-3\sqrt[3]{-0,000343}$.
Сначала вычислим значение кубического корня. Так как показатель корня (3) нечетный, корень из отрицательного числа является отрицательным.
$\sqrt[3]{-0,000343} = -\sqrt[3]{0,000343}$.
Поскольку $7^3=343$, то $(0.07)^3 = 0.000343$.
Тогда $\sqrt[3]{-0,000343} = \sqrt[3]{(-0.07)^3} = -0.07$.
Теперь умножим полученный результат на -3:
$-3 \times (-0.07) = 0.21$.
Ответ: 0.21

70. Вычислите:

1) $0,6 \sqrt[3]{8000} - \frac{5}{3} \sqrt[4]{81};$

2) $\sqrt[3]{-216} + 4(\sqrt[6]{5})^6 - 3\sqrt[9]{512};$

3) $2(-\sqrt[12]{12})^{12} - 30\sqrt[3]{0,001} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5;$

4) $\sqrt[5]{7 \frac{19}{32}} \cdot \sqrt[6]{\frac{64}{729}} + (-5\sqrt{3})^2 - (-\sqrt[11]{14})^{11}.$

1) $0,6 \sqrt[3]{8000} - \frac{5}{3} \sqrt[4]{81}$

Решим по шагам:

1. Вычислим кубический корень из 8000. Так как $20^3 = 8000$, то $\sqrt[3]{8000} = 20$.

2. Вычислим корень четвертой степени из 81. Так как $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$0,6 \cdot 20 - \frac{5}{3} \cdot 3 = 12 - 5 = 7$.

Ответ: 7

2) $\sqrt[3]{-216} + 4(\sqrt[6]{5})^6 - 3\sqrt[9]{512}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

1. Кубический корень из отрицательного числа: $\sqrt[3]{-216} = \sqrt[3]{(-6)^3} = -6$.

2. Используя свойство корня $(\sqrt[n]{a})^n = a$, получаем: $4(\sqrt[6]{5})^6 = 4 \cdot 5 = 20$.

3. Вычислим корень девятой степени из 512. Так как $2^9 = 512$, то $\sqrt[9]{512} = 2$. Тогда $3\sqrt[9]{512} = 3 \cdot 2 = 6$.

4. Сложим и вычтем полученные значения:

$-6 + 20 - 6 = 14 - 6 = 8$.

Ответ: 8

3) $2(-\sqrt[12]{12})^{12} - 30\sqrt[3]{0,001} + (\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$

Разберем выражение по частям:

1. Первое слагаемое: $2(-\sqrt[12]{12})^{12}$. Так как степень четная (12), отрицательный знак под корнем становится положительным при возведении в степень: $2 \cdot (\sqrt[12]{12})^{12} = 2 \cdot 12 = 24$.

2. Второе слагаемое: $30\sqrt[3]{0,001}$. Мы знаем, что $0,1^3 = 0,001$, поэтому $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$. Тогда $30 \cdot 0,1 = 3$.

3. Третье слагаемое: $(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем $(\frac{1}{2})^5 \cdot (\sqrt[5]{96})^5 = \frac{1}{32} \cdot 96 = 3$.

4. Теперь объединим все части:

$24 - 3 + 3 = 24$.

Ответ: 24

4) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} \cdot \sqrt[6]{\frac{64}{729}} + (-5\sqrt{3})^2 - (-\sqrt[11]{14})^{11}$

Вычислим значение каждого члена выражения по порядку:

1. Произведение корней: $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} \cdot \sqrt[6]{\frac{64}{729}}$.

- Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{243}{32}$.

- Вычислим первый корень: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{3}{2}$.

- Вычислим второй корень: $\sqrt[6]{\frac{64}{729}} = \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[6]{729}} = \frac{2}{3}$.

- Найдем их произведение: $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.

2. Второй член: $(-5\sqrt{3})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.

3. Третий член: $-(-\sqrt[11]{14})^{11}$. Так как степень нечетная (11), знак минус сохраняется: $-(-\sqrt[11]{14})^{11} = -(-1 \cdot (\sqrt[11]{14}))^{11} = -((-1)^{11} \cdot (\sqrt[11]{14})^{11}) = -(-1 \cdot 14) = -(-14) = 14$.

4. Сложим все полученные значения:

$1 + 75 + 14 = 90$.

Ответ: 90

71. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{x - 8}$;

2) $y = \sqrt[10]{-x^8}$;

3) $y = \sqrt[5]{x + 2}$;

4) $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x}$;

5) $y = \sqrt[10]{-8 + 6x - x^2}$;

6) $y = \sqrt[12]{\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 9}}$.

1) Областью определения функции $y = \sqrt[n]{f(x)}$ с четным показателем корня $n$ является множество всех значений $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно. В данном случае $n=4$ (четное), поэтому:
$x - 8 \geq 0$
$x \geq 8$
Ответ: $[8, +\infty)$.

2) Дана функция $y = \sqrt[10]{-x^8}$. Показатель корня $n=10$ — четный, следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-x^8 \geq 0$
Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$x^8 \leq 0$
Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (8), является неотрицательным ($x^8 \geq 0$), единственное решение неравенства $x^8 \leq 0$ достигается только при условии $x^8 = 0$.
$x = 0$
Таким образом, функция определена только в одной точке.
Ответ: $\{0\}$.

3) Дана функция $y = \sqrt[5]{x + 2}$. Показатель корня $n=5$ — нечетный. Область определения корня нечетной степени — все действительные числа. Следовательно, область определения функции совпадает с областью определения подкоренного выражения $x+2$, которое определено для любых $x$.
Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) Дана функция $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x}$. Показатель корня $n=6$ — четный, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x^2 - 4x \geq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 4) \geq 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корнями уравнения $x(x-4)=0$ являются $x=0$ и $x=4$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
$x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$
Ответ: $(-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$.

5) Дана функция $y = \sqrt[10]{-8 + 6x - x^2}$. Показатель корня $n=10$ — четный, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-x^2 + 6x - 8 \geq 0$
Умножим неравенство на -1, изменив знак:
$x^2 - 6x + 8 \leq 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=4$.
Неравенство можно записать в виде $(x-2)(x-4) \leq 0$.
Это парабола с ветвями вверх, которая принимает неположительные значения на отрезке между корнями.
$x \in [2, 4]$
Ответ: $[2, 4]$.

6) Дана функция $y = \sqrt[12]{\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 9}}$. Показатель корня $n=12$ — четный. Область определения задается двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$ \begin{cases} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 9} \geq 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases} $
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$.
Знаменатель: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x+3)(x-1)}{(x-3)(x+3)} \geq 0$
Знаменатель не равен нулю при $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
При $x \neq -3$ дробь можно сократить до $\frac{x-1}{x-3} \geq 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x=1$ (числитель равен 0) и $x=3$ (знаменатель равен 0). Отметим эти точки на числовой оси (1 — закрашенная, 3 — выколотая).
- На интервале $(3, +\infty)$ выражение положительно.
- На интервале $(1, 3)$ выражение отрицательно.
- На интервале $(-\infty, 1)$ выражение положительно.
Таким образом, решение неравенства $\frac{x-1}{x-3} \geq 0$ есть $(-\infty, 1] \cup (3, +\infty)$.
Теперь учтем исходное ограничение $x \neq -3$. Точка $x=-3$ принадлежит промежутку $(-\infty, 1]$, поэтому ее необходимо исключить.
Ответ: $(-\infty, -3) \cup (-3, 1] \cup (3, +\infty)$.