Номер 70, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Вычислите:

1) $0,6 \sqrt[3]{8000} - \frac{5}{3} \sqrt[4]{81};$

2) $\sqrt[3]{-216} + 4(\sqrt[6]{5})^6 - 3\sqrt[9]{512};$

3) $2(-\sqrt[12]{12})^{12} - 30\sqrt[3]{0,001} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5;$

4) $\sqrt[5]{7 \frac{19}{32}} \cdot \sqrt[6]{\frac{64}{729}} + (-5\sqrt{3})^2 - (-\sqrt[11]{14})^{11}.$

1) $0,6 \sqrt[3]{8000} - \frac{5}{3} \sqrt[4]{81}$

Решим по шагам:

1. Вычислим кубический корень из 8000. Так как $20^3 = 8000$, то $\sqrt[3]{8000} = 20$.

2. Вычислим корень четвертой степени из 81. Так как $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$0,6 \cdot 20 - \frac{5}{3} \cdot 3 = 12 - 5 = 7$.

Ответ: 7

2) $\sqrt[3]{-216} + 4(\sqrt[6]{5})^6 - 3\sqrt[9]{512}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

1. Кубический корень из отрицательного числа: $\sqrt[3]{-216} = \sqrt[3]{(-6)^3} = -6$.

2. Используя свойство корня $(\sqrt[n]{a})^n = a$, получаем: $4(\sqrt[6]{5})^6 = 4 \cdot 5 = 20$.

3. Вычислим корень девятой степени из 512. Так как $2^9 = 512$, то $\sqrt[9]{512} = 2$. Тогда $3\sqrt[9]{512} = 3 \cdot 2 = 6$.

4. Сложим и вычтем полученные значения:

$-6 + 20 - 6 = 14 - 6 = 8$.

Ответ: 8

3) $2(-\sqrt[12]{12})^{12} - 30\sqrt[3]{0,001} + (\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$

Разберем выражение по частям:

1. Первое слагаемое: $2(-\sqrt[12]{12})^{12}$. Так как степень четная (12), отрицательный знак под корнем становится положительным при возведении в степень: $2 \cdot (\sqrt[12]{12})^{12} = 2 \cdot 12 = 24$.

2. Второе слагаемое: $30\sqrt[3]{0,001}$. Мы знаем, что $0,1^3 = 0,001$, поэтому $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$. Тогда $30 \cdot 0,1 = 3$.

3. Третье слагаемое: $(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем $(\frac{1}{2})^5 \cdot (\sqrt[5]{96})^5 = \frac{1}{32} \cdot 96 = 3$.

4. Теперь объединим все части:

$24 - 3 + 3 = 24$.

Ответ: 24

4) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} \cdot \sqrt[6]{\frac{64}{729}} + (-5\sqrt{3})^2 - (-\sqrt[11]{14})^{11}$

Вычислим значение каждого члена выражения по порядку:

1. Произведение корней: $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} \cdot \sqrt[6]{\frac{64}{729}}$.

- Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{243}{32}$.

- Вычислим первый корень: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{3}{2}$.

- Вычислим второй корень: $\sqrt[6]{\frac{64}{729}} = \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[6]{729}} = \frac{2}{3}$.

- Найдем их произведение: $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.

2. Второй член: $(-5\sqrt{3})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.

3. Третий член: $-(-\sqrt[11]{14})^{11}$. Так как степень нечетная (11), знак минус сохраняется: $-(-\sqrt[11]{14})^{11} = -(-1 \cdot (\sqrt[11]{14}))^{11} = -((-1)^{11} \cdot (\sqrt[11]{14})^{11}) = -(-1 \cdot 14) = -(-14) = 14$.

4. Сложим все полученные значения:

$1 + 75 + 14 = 90$.

Ответ: 90