Номер 63, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Постройте график функции:

1) $y = (x + 3)^0$;

2) $y = (\sqrt{x} - 2)^0$;

3) $y = (x^2 - 4x - 12)^0$.

1)

Дана функция $y = (x+3)^0$.

По определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. При этом выражение $a^0$ не определено (не имеет смысла), если основание $a=0$.

Следовательно, данная функция определена для всех значений $x$, при которых основание степени не равно нулю:

$x + 3 \neq 0$

$x \neq -3$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения значение функции постоянно и равно 1: $y = 1$.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y=1$, из которой исключена ("выколота") точка, в которой функция не определена. Абсцисса этой точки $x=-3$, ордината $y=1$.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотой точкой $(-3; 1)$.

2)

Дана функция $y = (\sqrt{x}-2)^0$.

Функция определена при одновременном выполнении двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Основание степени не должно быть равно нулю: $\sqrt{x} - 2 \neq 0$.

Решим второе условие:

$\sqrt{x} \neq 2$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$x \neq 4$

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 4$), получаем область определения функции: $D(y) = [0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения значение функции равно 1: $y=1$.

Графиком функции является луч $y=1$, начинающийся в точке $(0; 1)$ (эта точка принадлежит графику) и идущий вправо, с выколотой точкой при $x=4$. Координаты выколотой точки — $(4; 1)$.

Ответ: График функции — луч $y=1$, начинающийся в точке $(0; 1)$, с выколотой точкой $(4; 1)$.

3)

Дана функция $y = (x^2 - 4x - 12)^0$.

Функция определена для всех значений $x$, при которых основание степени не равно нулю:

$x^2 - 4x - 12 \neq 0$

Чтобы найти точки, в которых функция не определена, решим квадратное уравнение $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Следовательно, функция не определена в точках $x=-2$ и $x=6$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 6) \cup (6; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения значение функции равно 1: $y=1$.

Графиком функции является прямая $y=1$, из которой выколоты две точки: с абсциссами $x=-2$ и $x=6$.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-2; 1)$ и $(6; 1)$.