Номер 23, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{6x - 4}$;

2) $y = \sqrt{\frac{1}{6}x + 1}$;

3) $y = \sqrt{1 - 6x}$;

4) $y = \sqrt{4x - 2} - 2$;

5) $y = \frac{1}{4}\sqrt{6 - 3x} - 1$;

6) $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2x - 5} - 2$.

Для построения графиков данных функций, мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. Этот график является ветвью параболы, начинающейся в точке (0, 0) и проходящей через точки (1, 1), (4, 2) и т.д.

1) $y = \sqrt{6x - 4}$

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6x - 4 \geq 0 \implies 6x \geq 4 \implies x \geq \frac{4}{6} \implies x \geq \frac{2}{3}$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [\frac{2}{3}; +\infty)$.

2. Область значений. Квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \geq 0$. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Ключевые точки для построения.

• Начальная точка графика: найдем ее, приравняв подкоренное выражение к нулю. Если $x = \frac{2}{3}$, то $y = \sqrt{6 \cdot \frac{2}{3} - 4} = \sqrt{4-4} = 0$. Начальная точка: $(\frac{2}{3}, 0)$.
• Найдем еще несколько точек. Возьмем $x$ так, чтобы под корнем получался квадрат целого числа. Если $6x - 4 = 1$, то $6x=5$, $x=\frac{5}{6}$. Получаем точку $(\frac{5}{6}, 1)$. Если $6x - 4 = 4$, то $6x=8$, $x=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Получаем точку $(\frac{4}{3}, 2)$.

4. Построение. График функции $y = \sqrt{6x - 4} = \sqrt{6(x-\frac{2}{3})}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сжатия к оси OY в 6 раз и сдвига вправо на $\frac{2}{3}$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(\frac{2}{3}, 0)$ и идущую вправо и вверх через точки $(\frac{5}{6}, 1)$ и $(\frac{4}{3}, 2)$.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(\frac{2}{3}, 0)$, направленная вправо и вверх.

2) $y = \sqrt{\frac{1}{6}x + 1}$

1. Область определения. $\frac{1}{6}x + 1 \geq 0 \implies \frac{1}{6}x \geq -1 \implies x \geq -6$. $D(y) = [-6; +\infty)$.

2. Область значений. $y \geq 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = -6$, то $y = \sqrt{\frac{1}{6}(-6) + 1} = \sqrt{-1+1} = 0$. Точка $(-6, 0)$.
• Если $x=0$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $\frac{1}{6}x + 1 = 4$, то $\frac{1}{6}x = 3$, $x=18$. Точка $(18, 2)$.

4. Построение. График функции $y = \sqrt{\frac{1}{6}(x+6)}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ растяжением от оси OY в 6 раз и сдвигом влево на 6. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(-6, 0)$ и идущая вправо и вверх через точки $(0, 1)$ и $(18, 2)$.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(-6, 0)$, направленная вправо и вверх.

3) $y = \sqrt{1 - 6x}$

1. Область определения. $1 - 6x \geq 0 \implies 1 \geq 6x \implies x \leq \frac{1}{6}$. $D(y) = (-\infty; \frac{1}{6}]$.

2. Область значений. $y \geq 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = \frac{1}{6}$, то $y = \sqrt{1 - 6 \cdot \frac{1}{6}} = 0$. Точка $(\frac{1}{6}, 0)$.
• Если $x=0$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $1 - 6x = 4$, то $-6x=3$, $x = -\frac{1}{2}$. Точка $(-\frac{1}{2}, 2)$.

4. Построение. График функции $y = \sqrt{-6(x-\frac{1}{6})}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ отражением относительно оси OY, сжатием к оси OY в 6 раз и сдвигом вправо на $\frac{1}{6}$. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{6}, 0)$ и идущая влево и вверх через точки $(0, 1)$ и $(-\frac{1}{2}, 2)$.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(\frac{1}{6}, 0)$, направленная влево и вверх.

4) $y = \sqrt{4x - 2} - 2$

1. Область определения. $4x - 2 \geq 0 \implies 4x \geq 2 \implies x \geq \frac{1}{2}$. $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

2. Область значений. Так как $\sqrt{4x - 2} \geq 0$, то $y = \sqrt{4x - 2} - 2 \geq -2$. $E(y) = [-2; +\infty)$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = \frac{1}{2}$, то $y = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2} - 2} - 2 = -2$. Точка $(\frac{1}{2}, -2)$.
• Пересечение с осью OX ($y=0$): $0 = \sqrt{4x-2} - 2 \implies \sqrt{4x-2} = 2 \implies 4x-2=4 \implies 4x=6 \implies x=\frac{3}{2}$. Точка $(\frac{3}{2}, 0)$.
• Если $4x - 2 = 9$, то $4x=11$, $x=\frac{11}{4}=2.75$. Тогда $y=\sqrt{9}-2=3-2=1$. Точка $(\frac{11}{4}, 1)$.

4. Построение. График функции $y = \sqrt{4(x-\frac{1}{2})} - 2$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сжатием к оси OY в 4 раза, сдвигом вправо на $\frac{1}{2}$ и сдвигом вниз на 2. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{2}, -2)$ и идущая вправо и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(\frac{1}{2}, -2)$, направленная вправо и вверх.

5) $y = \frac{1}{4}\sqrt{6 - 3x} - 1$

1. Область определения. $6 - 3x \geq 0 \implies 6 \geq 3x \implies x \leq 2$. $D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Область значений. Так как $\sqrt{6 - 3x} \geq 0$, то $\frac{1}{4}\sqrt{6-3x} \geq 0$, следовательно $y = \frac{1}{4}\sqrt{6-3x} - 1 \geq -1$. $E(y) = [-1; +\infty)$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = 2$, то $y = \frac{1}{4}\sqrt{6 - 3 \cdot 2} - 1 = -1$. Точка $(2, -1)$.
• Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = \frac{1}{4}\sqrt{6} - 1 \approx \frac{2.45}{4} - 1 \approx 0.61 - 1 = -0.39$. Точка $(0, \frac{\sqrt{6}}{4}-1)$.
• Пересечение с осью OX ($y=0$): $0 = \frac{1}{4}\sqrt{6-3x} - 1 \implies 1 = \frac{1}{4}\sqrt{6-3x} \implies 4 = \sqrt{6-3x} \implies 16 = 6-3x \implies 3x = -10 \implies x = -\frac{10}{3}$. Точка $(-\frac{10}{3}, 0)$.

4. Построение. График функции $y = \frac{1}{4}\sqrt{-3(x-2)} - 1$ получается из $y=\sqrt{x}$ отражением по OY, сжатием к OY в 3 раза, сжатием к OX в 4 раза, сдвигом вправо на 2 и вниз на 1. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(2, -1)$ и идущая влево и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(2, -1)$, направленная влево и вверх.

6) $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2x - 5} - 2$

1. Область определения. $2x - 5 \geq 0 \implies 2x \geq 5 \implies x \geq \frac{5}{2}$. $D(y) = [\frac{5}{2}; +\infty)$.

2. Область значений. Так как $\sqrt{2x - 5} \geq 0$, то $-\frac{1}{2}\sqrt{2x - 5} \leq 0$. Следовательно, $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2x - 5} - 2 \leq -2$. $E(y) = (-\infty; -2]$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка: если $x = \frac{5}{2} = 2.5$, то $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot \frac{5}{2} - 5} - 2 = -2$. Точка $(\frac{5}{2}, -2)$.
• Возьмем $x=3$: $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 3 - 5} - 2 = -\frac{1}{2}\sqrt{1} - 2 = -0.5 - 2 = -2.5$. Точка $(3, -2.5)$.
• Если $2x-5=4$, то $2x=9$, $x=4.5$. Тогда $y=-\frac{1}{2}\sqrt{4}-2 = -1-2=-3$. Точка $(4.5, -3)$.

4. Построение. График функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt{2(x-\frac{5}{2})} - 2$ получается из $y = \sqrt{x}$ отражением относительно оси OX, сжатием к оси OY в 2 раза, сжатием к оси OX в 2 раза, сдвигом вправо на $\frac{5}{2}$ и вниз на 2. График — ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{5}{2}, -2)$ и идущая вправо и вниз.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(\frac{5}{2}, -2)$, направленная вправо и вниз.