Номер 10, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. На рисунке 22 изображена часть графика функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-7; 7]$. Достройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 22

$y$

$x$

$-7$

$0$

$1$

$1$

$3$

1) чётной

По определению, чётная функция удовлетворяет условию $g(-x) = g(x)$ для любого $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Чтобы достроить график функции на промежутке $[0; 7]$, нужно отразить уже существующую часть графика (для $x \in [-7; 0]$) симметрично относительно оси OY. Исходный график на промежутке $x \in [-7; 0]$ состоит из двух частей: горизонтального отрезка от точки $(-7, 3)$ до $(-4, 3)$ и отрезка прямой, соединяющего точки $(-4, 3)$ и $(0, 0)$.

При симметричном отражении относительно оси OY каждая точка $(x, y)$ графика переходит в точку $(-x, y)$.

Таким образом, отрезок с концами в точках $(-7, 3)$ и $(-4, 3)$ отобразится в отрезок с концами в точках $(7, 3)$ и $(4, 3)$. Это означает, что на промежутке $[4; 7]$ график функции будет представлять собой горизонтальный отрезок на уровне $y=3$. Отрезок, соединяющий точки $(-4, 3)$ и $(0, 0)$, отобразится в отрезок, соединяющий точки $(4, 3)$ и $(0, 0)$.

В итоге, полный график будет состоять из исходной части и достроенной, которая включает отрезок от точки $(0, 0)$ до $(4, 3)$ и горизонтальный отрезок от точки $(4, 3)$ до $(7, 3)$.

Ответ: Чтобы достроить график, нужно на промежутке $[0; 4]$ провести отрезок из точки $(0, 0)$ в точку $(4, 3)$, а на промежутке $[4; 7]$ провести горизонтальный отрезок из точки $(4, 3)$ в точку $(7, 3).

2) нечётной

По определению, нечётная функция удовлетворяет условию $g(-x) = -g(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы достроить график функции на промежутке $[0; 7]$, нужно отразить уже существующую часть графика (для $x \in [-7; 0]$) симметрично относительно начала координат. При таком отражении каждая точка $(x, y)$ графика переходит в точку $(-x, -y)$.

Исходный график на промежутке $x \in [-7; 0]$ состоит из двух частей: горизонтального отрезка от точки $(-7, 3)$ до $(-4, 3)$ и отрезка прямой, соединяющего точки $(-4, 3)$ и $(0, 0)$.

При симметричном отражении относительно начала координат отрезок с концами в точках $(-7, 3)$ и $(-4, 3)$ отобразится в отрезок с концами в точках $(7, -3)$ и $(4, -3)$. Это означает, что на промежутке $[4; 7]$ график функции будет представлять собой горизонтальный отрезок на уровне $y=-3$. Отрезок, соединяющий точки $(-4, 3)$ и $(0, 0)$, отобразится в отрезок, соединяющий точки $(4, -3)$ и $(0, 0)$.

В итоге, полный график будет состоять из исходной части и достроенной, которая включает отрезок от точки $(0, 0)$ до $(4, -3)$ и горизонтальный отрезок от точки $(4, -3)$ до $(7, -3)$.

Ответ: Чтобы достроить график, нужно на промежутке $[0; 4]$ провести отрезок из точки $(0, 0)$ в точку $(4, -3)$, а на промежутке $[4; 7]$ провести горизонтальный отрезок из точки $(4, -3)$ в точку $(7, -3).