Страница 103 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

290. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x+1}{3-x^2}$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем точку касания, то есть точку пересечения графика с осью абсцисс.
2. Найдем производную функции $f(x)$.
3. Вычислим значение производной в точке касания, чтобы найти угловой коэффициент касательной.
4. Подставим все найденные значения в уравнение касательной.

1. Нахождение точки касания

Точка пересечения графика функции с осью абсцисс — это точка, в которой значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

$\frac{x+1}{3-x^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Приравняем числитель к нулю:
$x + 1 = 0 \implies x_0 = -1$

Проверим, что знаменатель не равен нулю при $x_0 = -1$:
$3 - x_0^2 = 3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2 \neq 0$

Таким образом, абсцисса точки касания $x_0 = -1$. Ордината точки касания $y_0 = f(x_0) = 0$.
Точка касания: $(-1, 0)$.

2. Нахождение производной

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x+1}{3-x^2}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x+1$ и $v(x) = 3-x^2$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = -2x$.

$f'(x) = \frac{(x+1)'(3-x^2) - (x+1)(3-x^2)'}{(3-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (3-x^2) - (x+1)(-2x)}{(3-x^2)^2}$

Упростим выражение в числителе:
$3 - x^2 - (-2x^2 - 2x) = 3 - x^2 + 2x^2 + 2x = x^2 + 2x + 3$

Таким образом, производная равна:
$f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{(3-x^2)^2}$

3. Вычисление углового коэффициента

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = -1$.

$k = f'(-1) = \frac{(-1)^2 + 2(-1) + 3}{(3-(-1)^2)^2} = \frac{1 - 2 + 3}{(3-1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. Составление уравнения касательной

Подставим значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = \frac{1}{2}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 0 + \frac{1}{2}(x - (-1))$

$y = \frac{1}{2}(x+1)$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

291. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x) = x^4 - 10x^2 - 6$.

Горизонтальная касательная к графику функции имеет угловой коэффициент (тангенс угла наклона), равный нулю. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции $f'(x_0)$ в этой точке. Следовательно, чтобы найти точки, в которых касательная горизонтальна, необходимо найти значения $x$, для которых производная $f'(x)$ равна нулю.

1. Нахождение производной функции

Дана функция $f(x) = x^4 - 10x^2 - 6$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^4 - 10x^2 - 6)' = 4x^{4-1} - 10 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 4x^3 - 20x$.

2. Нахождение точек, в которых производная равна нулю

Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы точек касания:

$f'(x) = 0$

$4x^3 - 20x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4x$:

$4x(x^2 - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

$4x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 5 = 0$

Решая их, находим абсциссы точек касания:

$x_1 = 0$

$x^2 = 5 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{5}$

Таким образом, график функции имеет горизонтальные касательные в трех точках с абсциссами $x = 0$, $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$.

3. Нахождение уравнений касательных

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ - это ордината точки касания, равная значению функции $f(x)$ в этой точке.

Найдем ординаты для каждой из найденных абсцисс, подставляя их в исходную функцию $f(x)$:

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 0^4 - 10 \cdot 0^2 - 6 = -6$.

Уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -6$.

Для $x_2 = \sqrt{5}$:

$y_2 = f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 - 6 = 25 - 10 \cdot 5 - 6 = 25 - 50 - 6 = -31$.

Для $x_3 = -\sqrt{5}$:

$y_3 = f(-\sqrt{5}) = (-\sqrt{5})^4 - 10(-\sqrt{5})^2 - 6 = 25 - 10 \cdot 5 - 6 = 25 - 50 - 6 = -31$.

Поскольку для $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$ ординаты точек касания одинаковы ($y = -31$), они лежат на одной и той же горизонтальной прямой. Таким образом, у графика функции есть две различные горизонтальные касательные.

Уравнение второй горизонтальной касательной: $y = -31$.

Ответ: $y = -6, y = -31$.

292. Найдите такую точку графика функции $f(x) = \sqrt{3x^3 - 5}$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Для нахождения точки графика функции, в которой касательная образует заданный угол с положительным направлением оси абсцисс, необходимо использовать геометрический смысл производной. Значение производной функции в точке касания $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, то есть $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

1. Найдем тангенс заданного угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$:

$k = \tan(\alpha) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Это и есть угловой коэффициент касательной, который мы ищем.

2. Теперь найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3x^3 - 5}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u(x) = 3x^3 - 5$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$.

$f'(x) = (\sqrt{u})' \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'(x)$.

Найдем $u'(x)$:

$u'(x) = (3x^3 - 5)' = 3 \cdot 3x^2 - 0 = 9x^2$.

Подставим все в формулу производной:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x^3 - 5}} \cdot 9x^2 = \frac{9x^2}{2\sqrt{3x^3 - 5}}$.

Область определения производной задается условием $3x^3 - 5 > 0$, то есть $x > \sqrt[3]{\frac{5}{3}}$.

3. Приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту $k = \sqrt{3}$ и решим уравнение относительно $x$:

$\frac{9x^2}{2\sqrt{3x^3 - 5}} = \sqrt{3}$.

Умножим обе части на знаменатель:

$9x^2 = 2\sqrt{3}\sqrt{3x^3 - 5}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(9x^2)^2 = (2\sqrt{3}\sqrt{3x^3 - 5})^2$

$81x^4 = (2\sqrt{3})^2 (3x^3 - 5)$

$81x^4 = 12(3x^3 - 5)$

$81x^4 = 36x^3 - 60$

Перенесем все члены в левую часть:

$81x^4 - 36x^3 + 60 = 0$.

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$27x^4 - 12x^3 + 20 = 0$.

4. Исследуем полученное уравнение на наличие действительных корней. Рассмотрим функцию $g(x) = 27x^4 - 12x^3 + 20$. Чтобы найти ее наименьшее значение, найдем ее производную и приравняем к нулю:

$g'(x) = (27x^4 - 12x^3 + 20)' = 108x^3 - 36x^2$.

$108x^3 - 36x^2 = 0$

$36x^2(3x - 1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{3}$.

Найдем значения функции $g(x)$ в этих точках:

$g(0) = 27(0)^4 - 12(0)^3 + 20 = 20$.

$g(\frac{1}{3}) = 27(\frac{1}{3})^4 - 12(\frac{1}{3})^3 + 20 = 27(\frac{1}{81}) - 12(\frac{1}{27}) + 20 = \frac{1}{3} - \frac{4}{9} + 20 = \frac{3}{9} - \frac{4}{9} + 20 = -\frac{1}{9} + 20 = 19\frac{8}{9}$.

В точке $x=\frac{1}{3}$ находится точка минимума функции $g(x)$, и ее наименьшее значение равно $19\frac{8}{9}$. Поскольку наименьшее значение функции $g(x)$ строго положительно ($19\frac{8}{9} > 0$), функция $g(x)$ никогда не обращается в ноль. Это означает, что уравнение $27x^4 - 12x^3 + 20 = 0$ не имеет действительных корней.

Таким образом, не существует такого значения $x$, при котором касательная к графику функции $f(x) = \sqrt{3x^3 - 5}$ образовывала бы угол $\frac{\pi}{3}$ с положительным направлением оси абсцисс. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: Таких точек не существует.

293. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 5x + 8,$ которая параллельна прямой $y = -3x + 5.$

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, искомая касательная параллельна прямой $y = -3x + 5$. Условие параллельности двух прямых — это равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = -3x + 5$ равен $-3$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, $f'(x_0) = -3$.

Для начала найдем производную функции $f(x) = x^2 - 5x + 8$:

$f'(x) = (x^2)' - (5x)' + (8)' = 2x - 5$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв значение производной к заданному угловому коэффициенту:

$f'(x_0) = -3$

$2x_0 - 5 = -3$

$2x_0 = 5 - 3$

$2x_0 = 2$

$x_0 = 1$

Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x_0 = 1$ в исходное уравнение функции:

$f(x_0) = f(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 8 = 1 - 5 + 8 = 4$.

Итак, точка касания имеет координаты $(1; 4)$.

Теперь подставим все известные значения ($x_0 = 1$, $f(x_0) = 4$, $f'(x_0) = -3$) в общее уравнение касательной:

$y = 4 + (-3)(x - 1)$

$y = 4 - 3x + 3$

$y = -3x + 7$

Ответ: $y = -3x + 7$.

294. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{3-x}{x+4}$ в точке с абсциссой $x_0=-3$. Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?

Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{3-x}{x+4}$ в точке с абсциссой $x_0 = -3$.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -3$:
$f(-3) = \frac{3 - (-3)}{-3 + 4} = \frac{3 + 3}{1} = 6$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-3; 6)$.
2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{3-x}{x+4}\right)' = \frac{(3-x)'(x+4) - (3-x)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{-1 \cdot (x+4) - (3-x) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{-x-4-3+x}{(x+4)^2} = \frac{-7}{(x+4)^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -3$, которое равно угловому коэффициенту $k$ касательной:
$k = f'(-3) = \frac{-7}{(-3+4)^2} = \frac{-7}{1^2} = -7$.
4. Подставим найденные значения $x_0 = -3$, $f(x_0) = 6$ и $f'(x_0) = -7$ в уравнение касательной:
$y = 6 + (-7)(x - (-3))$
$y = 6 - 7(x + 3)$
$y = 6 - 7x - 21$
$y = -7x - 15$.
Ответ: $y = -7x - 15$.

Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?
Прямые, параллельные найденной касательной $y = -7x - 15$, должны иметь такой же угловой коэффициент, то есть $k = -7$.
Чтобы определить, существуют ли другие касательные с таким же угловым коэффициентом, необходимо найти все значения $x$, для которых производная $f'(x)$ равна $-7$.
Решим уравнение $f'(x) = -7$:
$\frac{-7}{(x+4)^2} = -7$.
Область определения функции и ее производной: $x \neq -4$.
Разделим обе части уравнения на $-7$:
$\frac{1}{(x+4)^2} = 1$
$(x+4)^2 = 1$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
1) $x+4 = 1 \implies x = 1 - 4 = -3$.
2) $x+4 = -1 \implies x = -1 - 4 = -5$.
Уравнение имеет два решения: $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$.
Значение $x = -3$ соответствует уже найденной касательной. Значение $x = -5$ является абсциссой другой точки на графике функции, в которой касательная имеет тот же угловой коэффициент $k = -7$. Следовательно, эта касательная параллельна первой.
Таким образом, существует еще одна прямая, параллельная найденной касательной, которая также является касательной к графику данной функции.
Ответ: Да, существуют.

295. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 3$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, нам необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.
2. Найти точки пересечения этой касательной с осями координат ($Ox$ и $Oy$).
3. Вычислить площадь прямоугольного треугольника, образованного этими точками и началом координат.

1. Составление уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 3$ и $x_0 = -1$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 1 + 2 + 3 = 5$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + x^2 - 2x + 3)' = 3x^2 + 2x - 2$.

Найдем значение производной в точке $x_0$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 2 = 3(1) - 2 - 2 = 3 - 4 = -1$.

Теперь подставим найденные значения $f(-1) = 5$ и $f'(-1) = -1$ в уравнение касательной:

$y = 5 + (-1)(x - (-1))$

$y = 5 - (x + 1)$

$y = 5 - x - 1$

$y = -x + 4$.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат

Прямая $y = -x + 4$ пересекает оси координат.
Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), подставив $x = 0$:

$y = -0 + 4 \implies y = 4$. Точка пересечения: $(0, 4)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$), подставив $y = 0$:

$0 = -x + 4 \implies x = 4$. Точка пересечения: $(4, 0)$.

3. Вычисление площади треугольника

Касательная и оси координат образуют прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(4, 0)$ и $(0, 4)$.

Длины катетов этого треугольника равны отрезкам, отсекаемым касательной на осях координат, то есть $a = 4$ и $b = 4$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8.

296. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^3 - 15x;$

2) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 6;$

3) $f(x) = 0,4x^5 - 4x^3 + 16x - 7.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 15x$ необходимо исследовать знак ее производной.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 15x)' = 3x^2 - 15$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 15 = 0$
$3(x^2 - 5) = 0$
$x^2 = 5$
$x_1 = -\sqrt{5}$, $x_2 = \sqrt{5}$.
3. Критические точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; -\sqrt{5})$ возьмем точку $x = -3$. $f'(-3) = 3(-3)^2 - 15 = 27 - 15 = 12 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$ возьмем точку $x = 0$. $f'(0) = 3(0)^2 - 15 = -15 < 0$. Следовательно, функция убывает.
- На интервале $(\sqrt{5}; +\infty)$ возьмем точку $x = 3$. $f'(3) = 3(3)^2 - 15 = 27 - 15 = 12 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
4. Включая критические точки в промежутки, получаем:
- Промежутки возрастания: $(-\infty; -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$.
- Промежуток убывания: $[-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 6$ найдем промежутки монотонности.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 6)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x = 2x^3 - 9x^2 + 4x$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$2x^3 - 9x^2 + 4x = 0$
$x(2x^2 - 9x + 4) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $2x^2 - 9x + 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение $2x^2 - 9x + 4 = 0$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
$x_{2,3} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4}$.
$x_2 = \frac{9-7}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.
$x_3 = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Критические точки: $0$, $0,5$, $4$.
3. Критические точки делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 0,5)$, $(0,5; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = x(2x-1)(x-4)$ на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(-1) = (-1)(-3)(-5) = -15 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0; 0,5)$: $f'(0.25) = 0.25(-0.5)(-3.75) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(0,5; 4)$: $f'(1) = 1(1)(-3) = -3 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(4; +\infty)$: $f'(5) = 5(9)(1) = 45 > 0$. Функция возрастает.
4. Объединяя результаты, получаем:
- Промежутки возрастания: $[0; 0,5]$ и $[4; +\infty)$.
- Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$ и $[0,5; 4]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 0,5]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[0,5; 4]$.

3) Для функции $f(x) = 0,4x^5 - 4x^3 + 16x - 7$ найдем промежутки монотонности.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (0,4x^5 - 4x^3 + 16x - 7)' = 0,4 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 3x^2 + 16 = 2x^4 - 12x^2 + 16$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$2x^4 - 12x^2 + 16 = 0$
$x^4 - 6x^2 + 8 = 0$
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - 6t + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Вернемся к исходной переменной:
$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Критические точки: $-2$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $2$.
3. Критические точки делят числовую ось на интервалы. Определим знак производной $f'(x) = 2(x^2 - 2)(x^2 - 4)$ на каждом из них:
- На интервале $(-\infty; -2)$: $f'(-3) = 2(9-2)(9-4) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-2; -\sqrt{2})$: $f'(-1.5) = 2(2.25-2)(2.25-4) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$: $f'(0) = 2(-2)(-4) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(\sqrt{2}; 2)$: $f'(1.5) = 2(2.25-2)(2.25-4) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$: $f'(3) = 2(9-2)(9-4) > 0$. Функция возрастает.
4. Таким образом, получаем:
- Промежутки возрастания: $(-\infty; -2]$, $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ и $[2; +\infty)$.
- Промежутки убывания: $[-2; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 2]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$, $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $[-2; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 2]$.

297. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \frac{2x+5}{x-3}$

2) $f(x) = x + \frac{3}{x}$

3) $f(x) = \frac{x^2+2x}{4x-1}$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо исследовать знак её производной.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{2x+5}{x-3}\right)' = \frac{(2x+5)'(x-3) - (2x+5)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2(x-3) - (2x+5) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 5}{(x-3)^2} = \frac{-11}{(x-3)^2}$.

3. Определим знак производной. Числитель производной $(-11)$ является отрицательным числом. Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при любом $x$ из области определения (т.е. при $x \neq 3$).

Следовательно, $f'(x) = \frac{-11}{(x-3)^2} < 0$ для всех $x$ из области определения функции.

4. Так как производная функции отрицательна на всей области определения, функция убывает на каждом из интервалов этой области.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x + \frac{3}{x})' = (x + 3x^{-1})' = 1 - 3x^{-2} = 1 - \frac{3}{x^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{3}{x^2} = 0 \implies 1 = \frac{3}{x^2} \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Критические точки $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ и точка разрыва $x=0$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

4. Определим знак производной $f'(x) = 1 - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 3}{x^2}$ на каждом интервале. Так как знаменатель $x^2$ всегда положителен (при $x \neq 0$), знак производной зависит от знака числителя $x^2 - 3$.

- На интервале $(-\infty; -\sqrt{3})$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-\sqrt{3}; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(0; \sqrt{3})$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, убывает на промежутках $[-\sqrt{3}; 0)$ и $(0; \sqrt{3}]$.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $4x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{4}$. Область определения: $D(f) = (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x^2+2x)'(4x-1) - (x^2+2x)(4x-1)'}{(4x-1)^2} = \frac{(2x+2)(4x-1) - (x^2+2x) \cdot 4}{(4x-1)^2}$

$f'(x) = \frac{8x^2 - 2x + 8x - 2 - 4x^2 - 8x}{(4x-1)^2} = \frac{4x^2 - 2x - 2}{(4x-1)^2} = \frac{2(2x^2 - x - 1)}{(4x-1)^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв числитель производной к нулю:

$2x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Критические точки $x = -\frac{1}{2}$ и $x = 1$ и точка разрыва $x=\frac{1}{4}$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4. Определим знак производной на каждом интервале. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $2(2x^2 - x - 1)$, так как знаменатель $(4x-1)^2$ всегда положителен (при $x \neq \frac{1}{4}$). График параболы $y=2x^2-x-1$ имеет ветви вверх и пересекает ось абсцисс в точках $-\frac{1}{2}$ и $1$.

- На интервале $(-\infty; -\frac{1}{2})$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(\frac{1}{4}; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\frac{1}{2}]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}; 1]$.