Номер 296, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^3 - 15x;$

2) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 6;$

3) $f(x) = 0,4x^5 - 4x^3 + 16x - 7.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 15x$ необходимо исследовать знак ее производной.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 15x)' = 3x^2 - 15$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 15 = 0$
$3(x^2 - 5) = 0$
$x^2 = 5$
$x_1 = -\sqrt{5}$, $x_2 = \sqrt{5}$.
3. Критические точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; -\sqrt{5})$ возьмем точку $x = -3$. $f'(-3) = 3(-3)^2 - 15 = 27 - 15 = 12 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$ возьмем точку $x = 0$. $f'(0) = 3(0)^2 - 15 = -15 < 0$. Следовательно, функция убывает.
- На интервале $(\sqrt{5}; +\infty)$ возьмем точку $x = 3$. $f'(3) = 3(3)^2 - 15 = 27 - 15 = 12 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
4. Включая критические точки в промежутки, получаем:
- Промежутки возрастания: $(-\infty; -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$.
- Промежуток убывания: $[-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 6$ найдем промежутки монотонности.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 6)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x = 2x^3 - 9x^2 + 4x$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$2x^3 - 9x^2 + 4x = 0$
$x(2x^2 - 9x + 4) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $2x^2 - 9x + 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение $2x^2 - 9x + 4 = 0$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
$x_{2,3} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4}$.
$x_2 = \frac{9-7}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.
$x_3 = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Критические точки: $0$, $0,5$, $4$.
3. Критические точки делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 0,5)$, $(0,5; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = x(2x-1)(x-4)$ на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(-1) = (-1)(-3)(-5) = -15 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0; 0,5)$: $f'(0.25) = 0.25(-0.5)(-3.75) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(0,5; 4)$: $f'(1) = 1(1)(-3) = -3 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(4; +\infty)$: $f'(5) = 5(9)(1) = 45 > 0$. Функция возрастает.
4. Объединяя результаты, получаем:
- Промежутки возрастания: $[0; 0,5]$ и $[4; +\infty)$.
- Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$ и $[0,5; 4]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 0,5]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[0,5; 4]$.

3) Для функции $f(x) = 0,4x^5 - 4x^3 + 16x - 7$ найдем промежутки монотонности.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (0,4x^5 - 4x^3 + 16x - 7)' = 0,4 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 3x^2 + 16 = 2x^4 - 12x^2 + 16$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$2x^4 - 12x^2 + 16 = 0$
$x^4 - 6x^2 + 8 = 0$
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - 6t + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Вернемся к исходной переменной:
$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Критические точки: $-2$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $2$.
3. Критические точки делят числовую ось на интервалы. Определим знак производной $f'(x) = 2(x^2 - 2)(x^2 - 4)$ на каждом из них:
- На интервале $(-\infty; -2)$: $f'(-3) = 2(9-2)(9-4) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-2; -\sqrt{2})$: $f'(-1.5) = 2(2.25-2)(2.25-4) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$: $f'(0) = 2(-2)(-4) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(\sqrt{2}; 2)$: $f'(1.5) = 2(2.25-2)(2.25-4) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$: $f'(3) = 2(9-2)(9-4) > 0$. Функция возрастает.
4. Таким образом, получаем:
- Промежутки возрастания: $(-\infty; -2]$, $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ и $[2; +\infty)$.
- Промежутки убывания: $[-2; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 2]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$, $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $[-2; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 2]$.