Страница 75 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Упростите выражение:

1) $\frac{2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x - 4y} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$;

2) $\frac{x^{\frac{1}{6}} - 1}{2x^{\frac{1}{6}} - 6} - \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}} - 6}{2x^{\frac{1}{3}} - 6x^{\frac{1}{6}}}$;

3) $\left( \frac{a^{\frac{1}{6}} + 4}{a^{\frac{1}{6}} - 4} - \frac{a^{\frac{1}{6}} - 4}{a^{\frac{1}{6}} + 4} \right) : \frac{32a^{\frac{1}{2}}}{16 - a^{\frac{1}{3}}}$.

1)

Исходное выражение: $\frac{2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x - 4y} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$.

Преобразуем знаменатели. Знаменатель первой дроби является разностью квадратов: $x - 4y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (2y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})$.

Знаменатель второй дроби: $2y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = -(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})$. Заменим дробь $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}$ на $-\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}}}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})$:

$\frac{2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}) - y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + x + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 2y$

$= x + 4y - 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Числитель можно представить в виде полного квадрата: $x - 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 4y = (x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})^2$.

Получаем дробь:

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})^2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})}$

Сокращаем на $(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})$:

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{x^{\frac{1}{6}} - 1}{2x^{\frac{1}{6}} - 6} - \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}} - 6}{2x^{\frac{1}{3}} - 6x^{\frac{1}{6}}}$.

Для удобства введем замену: $a = x^{\frac{1}{6}}$, тогда $x^{\frac{1}{3}} = a^2$.

Выражение примет вид:

$\frac{a - 1}{2a - 6} - \frac{1}{a} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a^2 - 6a}$

Разложим знаменатели на множители:

$2a - 6 = 2(a - 3)$

$2a^2 - 6a = 2a(a - 3)$

Общий знаменатель для всех дробей: $2a(a - 3)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{a(a - 1)}{2a(a - 3)} - \frac{2(a - 3)}{2a(a - 3)} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)}$

Объединим числители:

$\frac{a(a - 1) - 2(a - 3) + 3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$a^2 - a - 2a + 6 + 3a - a^2 - 6 = (a^2 - a^2) + (-a - 2a + 3a) + (6 - 6) = 0$

Поскольку числитель равен нулю, все выражение равно нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю).

$\frac{0}{2a(a-3)} = 0$

Ответ: $0$.

3)

Исходное выражение: $(\frac{a^{\frac{1}{6}} + 4}{a^{\frac{1}{6}} - 4} - \frac{a^{\frac{1}{6}} - 4}{a^{\frac{1}{6}} + 4}) : \frac{32a^{\frac{1}{2}}}{16 - a^{\frac{1}{3}}}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a^{\frac{1}{6}} - 4)(a^{\frac{1}{6}} + 4) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - 4^2 = a^{\frac{1}{3}} - 16$.

$\frac{(a^{\frac{1}{6}} + 4)^2 - (a^{\frac{1}{6}} - 4)^2}{(a^{\frac{1}{6}} - 4)(a^{\frac{1}{6}} + 4)}$

Числитель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$((a^{\frac{1}{6}} + 4) - (a^{\frac{1}{6}} - 4))((a^{\frac{1}{6}} + 4) + (a^{\frac{1}{6}} - 4)) = (8)(2a^{\frac{1}{6}}) = 16a^{\frac{1}{6}}$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 16}$

Теперь выполним деление:

$\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 16} : \frac{32a^{\frac{1}{2}}}{16 - a^{\frac{1}{3}}}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 16} \cdot \frac{16 - a^{\frac{1}{3}}}{32a^{\frac{1}{2}}}$

Заметим, что $16 - a^{\frac{1}{3}} = -(a^{\frac{1}{3}} - 16)$.

$\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 16} \cdot \frac{-(a^{\frac{1}{3}} - 16)}{32a^{\frac{1}{2}}}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} - 16)$:

$\frac{16a^{\frac{1}{6}} \cdot (-1)}{32a^{\frac{1}{2}}} = -\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{32a^{\frac{1}{2}}}$

Упростим полученное выражение:

$-\frac{16}{32} \cdot a^{\frac{1}{6} - \frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} \cdot a^{\frac{1}{6} - \frac{3}{6}} = -\frac{1}{2}a^{-\frac{2}{6}} = -\frac{1}{2}a^{-\frac{1}{3}}$

Ответ: $-\frac{1}{2}a^{-\frac{1}{3}}$.

123. Решите уравнение:

1) $\sqrt[8]{3x - 1} = -1;$

2) $\sqrt[7]{3x - 1} = -1;$

3) $\sqrt[6]{3x - 1} = \sqrt[6]{9 - 2x};$

4) $\sqrt{3x - 1} = \sqrt{4x + 1};$

5) $\sqrt[8]{3x - 1} = \sqrt[8]{x^2 + 8x - 7};$

6) $\sqrt{3x - 1} = 1 - 3x.$

124. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+7} = 5-x$;

2) $2+\sqrt{4+2x-x^2} = x$.

1) $\sqrt{x+7} = 5-x$

Для решения данного иррационального уравнения определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, как значение арифметического квадратного корня, также должна быть неотрицательной.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases}$

Решая ее, получаем:

$\begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x \in [-7, 5]$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(\sqrt{x+7})^2 = (5-x)^2$

$x+7 = 25 - 10x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 10x - x + 25 - 7 = 0$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 18. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-7, 5]$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $-7 \le 2 \le 5$.

Корень $x_2 = 9$ не удовлетворяет условию, так как $9 > 5$. Следовательно, $x=9$ является посторонним корнем.

Проверка подстановкой в исходное уравнение подтверждает это:

Для $x = 2$: $\sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$; $5-2 = 3$. $3=3$ (верно).

Для $x = 9$: $\sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$; $5-9 = -4$. $4 \neq -4$ (неверно).

Ответ: 2

2) $2 + \sqrt{4+2x-x^2} = x$

Для начала уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{4+2x-x^2} = x-2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подрадикальное выражение и правая часть уравнения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} 4+2x-x^2 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4+2x-x^2 \ge 0$. Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $x^2-2x-4 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-2x-4=0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Парабола $y=x^2-2x-4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2-2x-4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}]$.

Решим второе неравенство системы: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Найдем пересечение полученных множеств: $[1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}]$ и $[2, +\infty)$. Так как $1+\sqrt{5} \approx 3.24$, то пересечением является отрезок $[2, 1+\sqrt{5}]$. Это и есть ОДЗ.

Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{4+2x-x^2} = x-2$:

$4+2x-x^2 = (x-2)^2$

$4+2x-x^2 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$2x^2 - 6x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x-3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x \in [2, 1+\sqrt{5}]$).

Корень $x_1=0$ не принадлежит ОДЗ, так как $0 < 2$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2=3$ принадлежит ОДЗ, так как $2 \le 3 \le 1+\sqrt{5}$ (неравенство $3 \le 1+\sqrt{5}$ эквивалентно $2 \le \sqrt{5}$, что верно, так как $4 \le 5$).

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

Для $x=3$: $2+\sqrt{4+2(3)-3^2} = 2+\sqrt{4+6-9} = 2+\sqrt{1} = 2+1=3$. Правая часть $x=3$. $3=3$ (верно).

Ответ: 3

125. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(3x - 5)(x - 1)} = x - 1;$

2) $(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24.$

1) $\sqrt{(3x - 5)(x - 1)} = x - 1$

Данное уравнение является иррациональным. Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Применительно к нашему уравнению система будет выглядеть так:

$\begin{cases} (3x-5)(x-1) = (x-1)^2 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство, чтобы определить область допустимых значений для $x$:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Теперь решим уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(3x - 5)(x - 1) - (x - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1) \cdot ((3x - 5) - (x - 1)) = 0$

$(x - 1) \cdot (3x - 5 - x + 1) = 0$

$(x - 1) \cdot (2x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 1 = 0$ или $2x - 4 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 1$.

Из второго уравнения: $2x = 4 \implies x_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 1$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge 1$.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 1$.

Следовательно, оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; 2$.

2) $(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24$

Сначала преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель за скобки:

$6x - 24 = 6(x - 4)$

Теперь уравнение имеет вид:

$(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x - 4)$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

2) $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \implies \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - x - 20 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 20 \ge 0$ выполняется при $x \le -4$ или $x \ge 5$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Теперь проверим найденные корни.

Для корня $x = 4$: он не принадлежит ОДЗ, так как не удовлетворяет ни условию $x \le -4$, ни условию $x \ge 5$. Следовательно, $x=4$ является посторонним корнем.

Теперь решим второе уравнение:

$\sqrt{x^2 - x - 20} = 6$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 - x - 20 = 36$

$x^2 - x - 56 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -56$

Отсюда находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ:

Корень $x = 8$ принадлежит ОДЗ, так как $8 \ge 5$.

Корень $x = -7$ принадлежит ОДЗ, так как $-7 \le -4$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 8$.