Страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[6]{x} - 8;$

2) $y = 9 - \sqrt[10]{x};$

3) $y = \sqrt[3]{x} - 6.$

1) $y = \sqrt[6]{x} - 8$

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$.

Функция $g(x) = \sqrt[6]{x}$ представляет собой корень четной степени. Такой корень определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$. Значение корня четной степени также всегда неотрицательно. Следовательно, область значений для функции $g(x) = \sqrt[6]{x}$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Запишем это в виде неравенства: $\sqrt[6]{x} \ge 0$.

Исходная функция $y = \sqrt[6]{x} - 8$ получена из функции $g(x) = \sqrt[6]{x}$ вычитанием числа 8. Чтобы найти ее область значений, вычтем 8 из обеих частей неравенства:

$\sqrt[6]{x} - 8 \ge 0 - 8$

$y \ge -8$

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -8.

Ответ: $E(y) = [-8; +\infty)$.

2) $y = 9 - \sqrt[10]{x}$

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt[10]{x}$. Это корень четной (10-й) степени, поэтому его значение всегда неотрицательно: $\sqrt[10]{x} \ge 0$.

Умножим это неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\sqrt[10]{x} \le 0$

Теперь прибавим 9 к обеим частям неравенства, чтобы получить исходную функцию $y = 9 - \sqrt[10]{x}$:

$9 - \sqrt[10]{x} \le 9 + 0$

$y \le 9$

Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 9.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 9]$.

3) $y = \sqrt[3]{x} - 6$

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt[3]{x}$. Это корень нечетной (3-й) степени. Корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Область определения и область значений функции $g(x) = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Исходная функция $y = \sqrt[3]{x} - 6$ получена сдвигом графика функции $g(x) = \sqrt[3]{x}$ на 6 единиц вниз. Такой сдвиг не изменяет область значений, которая охватывает все действительные числа.

Для любого желаемого значения $y_0$ мы можем найти соответствующее значение $x$:

$y_0 = \sqrt[3]{x} - 6$

$\sqrt[3]{x} = y_0 + 6$

$x = (y_0 + 6)^3$

Так как для любого $y_0$ существует $x$, то область значений — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

73. Оцените значение выражения $\sqrt[5]{x}$, если:

1) $32 \le x \le 1024$;

2) $-100000 < x < 243$.

Для оценки значения выражения $\sqrt[5]{x}$ воспользуемся свойством функции $y = \sqrt[5]{x}$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей области определения (для всех действительных чисел). Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$, если $a \le b$, то $\sqrt[5]{a} \le \sqrt[5]{b}$. Таким образом, мы можем применить операцию извлечения корня пятой степени ко всем частям неравенства, сохраняя при этом знак неравенства.

1)

Дано двойное неравенство $32 \le x \le 1024$.

Извлечем корень пятой степени из каждой части неравенства:

$\sqrt[5]{32} \le \sqrt[5]{x} \le \sqrt[5]{1024}$

Теперь вычислим значения корней на границах интервала:

Левая граница: $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.

Правая граница: $\sqrt[5]{1024} = \sqrt[5]{4^5} = 4$.

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$2 \le \sqrt[5]{x} \le 4$.

Ответ: $2 \le \sqrt[5]{x} \le 4$.

2)

Дано двойное неравенство $-100000 < x < 243$.

Извлечем корень пятой степени из каждой части неравенства:

$\sqrt[5]{-100000} < \sqrt[5]{x} < \sqrt[5]{243}$

Теперь вычислим значения корней на границах интервала:

Левая граница: $\sqrt[5]{-100000} = \sqrt[5]{(-10)^5} = -10$.

Правая граница: $\sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3$.

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$-10 < \sqrt[5]{x} < 3$.

Ответ: $-10 < \sqrt[5]{x} < 3$.

74. Оцените значение x, если:

1) $-2 \le \sqrt[3]{x} \le 6;$

2) $2 < \sqrt[4]{x} < 4.$

1)

Дано двойное неравенство: $-2 \le \sqrt[3]{x} \le 6$.

Чтобы оценить значение x, необходимо избавиться от кубического корня. Для этого возведем все части неравенства в третью степень. Функция $y = a^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, поэтому при возведении в степень знаки неравенства сохраняются.

Возводим в куб левую, среднюю и правую части:

$(-2)^3 \le (\sqrt[3]{x})^3 \le 6^3$

Выполняем вычисления:

$(-2)^3 = -2 \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

$(\sqrt[3]{x})^3 = x$

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Подставляем полученные значения обратно в неравенство:

$-8 \le x \le 216$

Таким образом, значение x находится в промежутке от -8 до 216 включительно.

Ответ: $-8 \le x \le 216$

2)

Дано двойное неравенство: $2 < \sqrt[4]{x} < 4$.

Чтобы оценить значение x, необходимо избавиться от корня четвертой степени. Для этого возведем все части неравенства в четвертую степень. Так как все части неравенства ($2$, $\sqrt[4]{x}$ и $4$) положительны, а функция $y = a^4$ является монотонно возрастающей для неотрицательных значений, знаки неравенства сохраняются.

Возводим в четвертую степень левую, среднюю и правую части:

$2^4 < (\sqrt[4]{x})^4 < 4^4$

Выполняем вычисления:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

$(\sqrt[4]{x})^4 = x$

$4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$

Подставляем полученные значения обратно в неравенство:

$16 < x < 256$

Таким образом, значение x находится в промежутке от 16 до 256, не включая границы.

Ответ: $16 < x < 256$

75. Сравните:

1) $\sqrt[5]{6,4}$ и $\sqrt[5]{7,2}$;

2) $\sqrt[9]{-19}$ и $\sqrt[9]{-23}$;

3) 4 и $\sqrt[3]{62}$;

4) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[8]{50}$;

5) $3\sqrt[3]{3}$ и $2\sqrt[3]{10}$.

1) Сравнить $\sqrt[5]{6,4}$ и $\sqrt[5]{7,2}$

Для сравнения двух корней с одинаковым показателем, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y = \sqrt[n]{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$.

Сравним подкоренные выражения: $6,4$ и $7,2$.

Поскольку $6,4 < 7,2$, то и $\sqrt[5]{6,4} < \sqrt[5]{7,2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{6,4} < \sqrt[5]{7,2}$.

2) Сравнить $\sqrt[9]{-19}$ и $\sqrt[9]{-23}$

Показатель корня $n=9$ является нечетным числом. Функция $y = \sqrt[9]{x}$ является возрастающей на всей области определения (для всех действительных чисел). Поэтому, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Сравним подкоренные выражения: $-19$ и $-23$.

Так как $-19 > -23$, то из этого следует, что $\sqrt[9]{-19} > \sqrt[9]{-23}$.

Ответ: $\sqrt[9]{-19} > \sqrt[9]{-23}$.

3) Сравнить $4$ и $\sqrt[3]{62}$

Чтобы сравнить число и корень, представим число в виде корня той же степени, что и у второго числа.

Представим число $4$ в виде кубического корня: $4 = \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{64}$.

Теперь сравним два корня: $\sqrt[3]{64}$ и $\sqrt[3]{62}$.

Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $64 > 62$.

Следовательно, $\sqrt[3]{64} > \sqrt[3]{62}$, а значит $4 > \sqrt[3]{62}$.

Ответ: $4 > \sqrt[3]{62}$.

4) Сравнить $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[8]{50}$

Для сравнения корней с разными показателями, приведем их к общему (наименьшему общему кратному) показателю. Наименьшее общее кратное для показателей $4$ и $8$ равно $8$.

Приведем корень $\sqrt[4]{7}$ к показателю $8$, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$:

$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[8]{49}$.

Теперь сравним $\sqrt[8]{49}$ и $\sqrt[8]{50}$.

Поскольку показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $49 < 50$.

Таким образом, $\sqrt[8]{49} < \sqrt[8]{50}$, что означает $\sqrt[4]{7} < \sqrt[8]{50}$.

Ответ: $\sqrt[4]{7} < \sqrt[8]{50}$.

5) Сравнить $3\sqrt[3]{3}$ и $2\sqrt[3]{10}$

Чтобы сравнить эти выражения, внесем множители перед корнем под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение.

Преобразуем первое выражение: $3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = \sqrt[3]{81}$.

Преобразуем второе выражение: $2\sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10} = \sqrt[3]{8 \cdot 10} = \sqrt[3]{80}$.

Теперь сравним полученные корни: $\sqrt[3]{81}$ и $\sqrt[3]{80}$.

Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $81 > 80$.

Следовательно, $\sqrt[3]{81} > \sqrt[3]{80}$, а значит $3\sqrt[3]{3} > 2\sqrt[3]{10}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{3} > 2\sqrt[3]{10}$.

76. Решите уравнение:

1) $x^5 = -25$;

2) $x^6 = \frac{1}{729}$;

3) $x^6 = -64$;

4) $(x+1)^4 = 16$;

5) $2x^6 - 36 = 0$;

6) $(x^2+x)^5 = 32$.

1) $x^5 = -25$
Для решения этого уравнения необходимо извлечь корень пятой степени из обеих частей. Так как степень корня нечетная (5), корень из отрицательного числа существует и является единственным действительным корнем.
$x = \sqrt[5]{-25}$
Знак минус можно вынести из-под корня нечетной степени:
$x = -\sqrt[5]{25}$
Ответ: $-\sqrt[5]{25}$.

2) $x^6 = \frac{1}{729}$
В данном случае показатель степени четный (6), а правая часть уравнения положительна. Это означает, что уравнение будет иметь два действительных корня, которые являются противоположными числами.
$x = \pm\sqrt[6]{\frac{1}{729}}$
Найдем значение корня: $\sqrt[6]{729} = 3$, так как $3^6 = 729$.
Следовательно:
$x = \pm\frac{1}{3}$
Ответ: $\pm\frac{1}{3}$.

3) $x^6 = -64$
В левой части уравнения стоит переменная в четной степени ($x^6$). Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат, то есть $x^6 \ge 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-64$).
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

4) $(x + 1)^4 = 16$
Это уравнение вида $y^4=16$, где $y = x+1$. Так как степень четная (4), а правая часть положительна, то $y$ может принимать два значения.
$x+1 = \sqrt[4]{16}$ или $x+1 = -\sqrt[4]{16}$
Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Рассмотрим оба случая:
1) $x + 1 = 2 \implies x = 2 - 1 \implies x = 1$
2) $x + 1 = -2 \implies x = -2 - 1 \implies x = -3$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-3; 1$.

5) $2x^6 - 36 = 0$
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $x^6$.
$2x^6 = 36$
Разделим обе части на 2:
$x^6 = 18$
Так как показатель степени четный (6), а правая часть положительна, уравнение имеет два противоположных корня.
$x = \pm\sqrt[6]{18}$
Ответ: $\pm\sqrt[6]{18}$.

6) $(x^2 + x)^5 = 32$
Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения. Так как степень нечетная (5), то решение для выражения в скобках будет единственным.
$x^2 + x = \sqrt[5]{32}$
Поскольку $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Уравнение сводится к квадратному:
$x^2 + x = 2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $-2$ и $1$.
$x_1 = -2$, $x_2 = 1$
Можно также решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
Ответ: $-2; 1$.

77. Решите уравнение:

1) $\sqrt[5]{x} = \frac{3}{2};$

2) $\sqrt[4]{x} - 4 = 0;$

3) $\sqrt[4]{x} + 3 = 0;$

4) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{x} + 3 = 0;$

5) $\sqrt[6]{3x - 2} = 0;$

6) $\sqrt[6]{3x - 2} = 2.$

1) $\sqrt[5]{x} = \frac{3}{2}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в пятую степень. Это допустимо, так как корень нечетной степени определен для любых действительных чисел.
$(\sqrt[5]{x})^5 = (\frac{3}{2})^5$
$x = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32}$
Выделим целую часть дроби: $x = 7 \frac{19}{32}$.

Ответ: $7 \frac{19}{32}$.

2) $\sqrt[4]{x} - 4 = 0$

Перенесем 4 в правую часть уравнения: $\sqrt[4]{x} = 4$.
Так как корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а значение корня также должно быть неотрицательным, что выполняется ($4 > 0$). Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x})^4 = 4^4$
$x = 256$.
Полученное значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $256$.

3) $\sqrt[4]{x} + 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения: $\sqrt[4]{x} = -3$.
Арифметический корень четной степени (в данном случае 4-й) по определению не может быть отрицательным числом. Левая часть уравнения $\sqrt[4]{x}$ всегда неотрицательна ($\sqrt[4]{x} \ge 0$) для любого допустимого $x$, а правая часть равна -3. Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

4) $\frac{1}{3}\sqrt[3]{x} + 3 = 0$

Сначала изолируем радикал. Перенесем 3 в правую часть: $\frac{1}{3}\sqrt[3]{x} = -3$.
Умножим обе части уравнения на 3: $\sqrt[3]{x} = -9$.
Корень нечетной степени (3-й) может быть отрицательным. Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{x})^3 = (-9)^3$
$x = -729$.

Ответ: $-729$.

5) $\sqrt[6]{3x-2} = 0$

Корень четной степени (6-й) равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю. Также необходимо учесть область допустимых значений: $3x-2 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$.
Приравняем подкоренное выражение к нулю:
$3x-2 = 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$.
Найденное значение $x = \frac{2}{3}$ удовлетворяет области допустимых значений.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

6) $\sqrt[6]{3x-2} = 2$

Так как корень четной степени (6-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x-2 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$. Значение в правой части (2) положительно, что допустимо. Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[6]{3x-2})^6 = 2^6$
$3x-2 = 64$
$3x = 64 + 2$
$3x = 66$
$x = \frac{66}{3}$
$x = 22$.
Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x \ge \frac{2}{3}$. Так как $22 > \frac{2}{3}$, решение является действительным.

Ответ: $22$.

78. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{20}$;

2) $\sqrt[4]{90}$;

3) $-\sqrt[4]{40}$?

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\sqrt[3]{20}$, нужно найти такое целое число $n$, что $n < \sqrt[3]{20} < n+1$.

Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < (\sqrt[3]{20})^3 < (n+1)^3$ $n^3 < 20 < (n+1)^3$

Теперь найдем два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 20. Рассмотрим кубы целых чисел: $1^3 = 1$ $2^3 = 8$ $3^3 = 27$

Мы видим, что $8 < 20 < 27$. Следовательно, $2^3 < 20 < 3^3$. Извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt[3]{2^3} < \sqrt[3]{20} < \sqrt[3]{3^3}$ $2 < \sqrt[3]{20} < 3$

Таким образом, число $\sqrt[3]{20}$ находится между числами 2 и 3.

Ответ: между 2 и 3.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\sqrt[4]{90}$, найдем целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[4]{90} < n+1$.

Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{90})^4 < (n+1)^4$ $n^4 < 90 < (n+1)^4$

Найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 90. Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $1^4 = 1$ $2^4 = 16$ $3^4 = 81$ $4^4 = 256$

Мы видим, что $81 < 90 < 256$. Следовательно, $3^4 < 90 < 4^4$. Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt[4]{3^4} < \sqrt[4]{90} < \sqrt[4]{4^4}$ $3 < \sqrt[4]{90} < 4$

Таким образом, число $\sqrt[4]{90}$ находится между числами 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.

3) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $-\sqrt[4]{40}$, сначала рассмотрим положительное число $\sqrt[4]{40}$. Найдем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[4]{40} < n+1$.

Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{40})^4 < (n+1)^4$ $n^4 < 40 < (n+1)^4$

Найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 40. Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $1^4 = 1$ $2^4 = 16$ $3^4 = 81$

Мы видим, что $16 < 40 < 81$. Следовательно, $2^4 < 40 < 3^4$. Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt[4]{2^4} < \sqrt[4]{40} < \sqrt[4]{3^4}$ $2 < \sqrt[4]{40} < 3$

Теперь умножим все части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-2 > -\sqrt[4]{40} > -3$

Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего числа к большему): $-3 < -\sqrt[4]{40} < -2$

Таким образом, число $-\sqrt[4]{40}$ находится между числами -3 и -2.

Ответ: между -3 и -2.

79. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) 5 и $\sqrt[3]{400}$;

2) $\sqrt[7]{-98}$ и $\sqrt[4]{1300}$.

1) Чтобы найти целые числа, расположенные между $5$ и $\sqrt[3]{400}$, необходимо оценить значение выражения $\sqrt[3]{400}$.

Для этого найдем два последовательных целых числа, между кубами которых находится число $400$.

Рассмотрим степени целых чисел:

$7^3 = 343$

$8^3 = 512$

Так как $343 < 400 < 512$, то и $\sqrt[3]{343} < \sqrt[3]{400} < \sqrt[3]{512}$, следовательно, $7 < \sqrt[3]{400} < 8$.

Мы ищем целые числа, которые находятся в интервале от $5$ до $\sqrt[3]{400}$. Это целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $5 < x < \sqrt[3]{400}$.

Поскольку $7 < \sqrt[3]{400} < 8$, то этому неравенству удовлетворяют целые числа $6$ и $7$.

Ответ: $6, 7$.

2) Чтобы найти целые числа, расположенные между $\sqrt[7]{-98}$ и $\sqrt[4]{1300}$, оценим значение каждого из этих чисел.

Сначала оценим значение $\sqrt[7]{-98}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен: $\sqrt[7]{-98} = -\sqrt[7]{98}$. Найдем два последовательных целых числа, между седьмыми степенями которых находится число $-98$.

Рассмотрим степени отрицательных целых чисел:

$(-1)^7 = -1$

$(-2)^7 = -128$

Так как $-128 < -98 < -1$, то и $\sqrt[7]{-128} < \sqrt[7]{-98} < \sqrt[7]{-1}$, следовательно, $-2 < \sqrt[7]{-98} < -1$.

Теперь оценим значение $\sqrt[4]{1300}$. Найдем два последовательных целых числа, между четвертыми степенями которых находится число $1300$.

Рассмотрим степени целых чисел:

$6^4 = 1296$

$7^4 = 2401$

Так как $1296 < 1300 < 2401$, то и $\sqrt[4]{1296} < \sqrt[4]{1300} < \sqrt[4]{2401}$, следовательно, $6 < \sqrt[4]{1300} < 7$.

Мы ищем все целые числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $\sqrt[7]{-98} < x < \sqrt[4]{1300}$.

Подставляя наши оценки, получаем, что целые числа должны находиться в интервале от числа (между $-2$ и $-1$) до числа (между $6$ и $7$).

Перечислим все целые числа, попадающие в этот интервал: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Ответ: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

80. Решите уравнение:

1) $x^6 - 7x^3 + 8 = 0;$

2) $x^8 - 84x^4 + 243 = 0;$

3) $x^{16} + x^8 - 30 = 0.$

1) $x^6 - 7x^3 + 8 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно $x^3$. Введем замену переменной.
Пусть $y = x^3$, тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 7y + 8 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 - 32 = 17$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для $y_1 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$:
$x^3 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$
$x_1 = \sqrt[3]{\frac{7 - \sqrt{17}}{2}}$

Для $y_2 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$:
$x^3 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$
$x_2 = \sqrt[3]{\frac{7 + \sqrt{17}}{2}}$

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{7 - \sqrt{17}}{2}}; \sqrt[3]{\frac{7 + \sqrt{17}}{2}}$.

2) $x^8 - 84x^4 + 243 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной.
Пусть $y = x^4$, тогда $x^8 = (x^4)^2 = y^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - 84y + 243 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-84)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 7056 - 972 = 6084$
$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$

Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{84 - 78}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_2 = \frac{84 + 78}{2} = \frac{162}{2} = 81$

Оба корня положительные, поэтому вернемся к замене для каждого из них.

1. Если $y = 3$, то $x^4 = 3$.
Отсюда получаем два действительных корня: $x_{1,2} = \pm \sqrt[4]{3}$.

2. Если $y = 81$, то $x^4 = 81$.
Отсюда получаем еще два действительных корня: $x_{3,4} = \pm \sqrt[4]{81} = \pm 3$.

Ответ: $-3; 3; -\sqrt[4]{3}; \sqrt[4]{3}$.

3) $x^{16} + x^8 - 30 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $x^8$. Сделаем замену.
Пусть $y = x^8$, тогда $x^{16} = (x^8)^2 = y^2$.
Получаем уравнение:

$y^2 + y - 30 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -1$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -30$
Подбором находим корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $y = 5$, то $x^8 = 5$.
Так как степень четная, а правая часть положительна, получаем два действительных корня: $x_{1,2} = \pm \sqrt[8]{5}$.

2. Если $y = -6$, то $x^8 = -6$.
Выражение $x^8$ не может быть отрицательным для любого действительного $x$. Следовательно, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-\sqrt[8]{5}; \sqrt[8]{5}$.

81. Решите уравнение:

1) $(16 - x^2)\sqrt[8]{x - 3} = 0;$

2) $(x + 5)\sqrt[18]{x^2 + 12x + 20} = 0;$

3) $(|x| - 7)\sqrt[14]{x + 3} = 0.$

1) $(16 - x^2)\sqrt[8]{x - 3} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (определен).
Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует корень чётной степени (8-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, откуда получаем $x \ge 3$.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $16 - x^2 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x_1 = 4, x_2 = -4$.

2) $\sqrt[8]{x - 3} = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 3$):

• $x_1 = 4$: $4 \ge 3$ (верно), корень подходит.
• $x_2 = -4$: $-4 \ge 3$ (неверно), корень не подходит.
• $x_3 = 3$: $3 \ge 3$ (верно), корень подходит.

Таким образом, уравнение имеет два корня: 3 и 4.
Ответ: 3; 4.

2) $(x + 5)\sqrt[18]{x^2 + 12x + 20} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Найдём ОДЗ. Подкоренное выражение корня чётной степени (18-й) должно быть неотрицательным: $x^2 + 12x + 20 \ge 0$.
Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 + 12x + 20 = 0$. Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64 = 8^2$. Корни: $x_1 = \frac{-12 - 8}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-12 + 8}{2} = -2$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 12x + 20 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -10] \cup [-2; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$.

2) $\sqrt[18]{x^2 + 12x + 20} = 0 \implies x^2 + 12x + 20 = 0 \implies x_2 = -10, x_3 = -2$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

• $x_1 = -5$: не принадлежит ОДЗ, так как $-10 < -5 < -2$.
• $x_2 = -10$: принадлежит ОДЗ, так как $x \le -10$.
• $x_3 = -2$: принадлежит ОДЗ, так как $x \ge -2$.

Таким образом, решениями являются -10 и -2.
Ответ: -10; -2.

3) $(|x| - 7)\sqrt[14]{x + 3} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения корня чётной степени (14-й): $x + 3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $|x| - 7 = 0 \implies |x| = 7 \implies x_1 = 7, x_2 = -7$.

2) $\sqrt[14]{x + 3} = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -3$):

• $x_1 = 7$: $7 \ge -3$ (верно), корень подходит.
• $x_2 = -7$: $-7 \ge -3$ (неверно), корень не подходит.
• $x_3 = -3$: $-3 \ge -3$ (верно), корень подходит.

Таким образом, уравнение имеет два корня: -3 и 7.
Ответ: -3; 7.