Страница 63 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+3}{x-6} < 0;$

2) $\frac{x-5}{x+7} > 0;$

3) $\frac{x-1,4}{x-2,6} \le 0;$

4) $\frac{x+5,8}{x-2,3} \ge 0;$

5) $\frac{3-x}{x-4} \ge 0;$

6) $\frac{(x+5)(x+7)}{x-11} \le 0;$

7) $\frac{x-6,5}{(x+3)(x-14)} \ge 0;$

8) $\frac{x+6,8}{(7-x)(x-4)} \le 0.$

1) $\frac{x+3}{x-6} < 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.

• Нуль числителя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
• Нуль знаменателя: $x-6=0 \Rightarrow x=6$.

2. Отмечаем найденные точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($<0$), обе точки будут выколотыми (не включены в решение).

3. Определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(6; +\infty)$, например, $x=10$.
$\frac{10+3}{10-6} = \frac{13}{4} > 0$. Ставим знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться: $(-\infty; -3): +$, $(-3; 6): -$, $(6; +\infty): +$.
4. Нам нужно найти множество решений для $\frac{x+3}{x-6} < 0$, то есть выбрать интервал со знаком "-".
Это интервал $(-3; 6)$.
Ответ: $x \in (-3; 6)$.

2) $\frac{x-5}{x+7} > 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x-5=0 \Rightarrow x=5$.
• $x+7=0 \Rightarrow x=-7$.

2. Отмечаем точки $-7$ и $5$ на числовой оси. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое ($>0$).

3. Определяем знаки. Возьмем $x=10$ из интервала $(5; +\infty)$.
$\frac{10-5}{10+7} = \frac{5}{17} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -7): +$, $(-7; 5): -$, $(5; +\infty): +$.
4. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Это интервалы $(-\infty; -7)$ и $(5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (5; +\infty)$.

3) $\frac{x-1,4}{x-2,6} \le 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x-1,4=0 \Rightarrow x=1,4$.
• $x-2,6=0 \Rightarrow x=2,6$.

2. Отмечаем точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), нуль числителя ($x=1,4$) будет закрашенной точкой (включен в решение). Нуль знаменателя ($x=2,6$) всегда выкалывается, так как на ноль делить нельзя.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=3$ из интервала $(2,6; +\infty)$.
$\frac{3-1,4}{3-2,6} = \frac{1,6}{0,4} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; 1,4]: +$, $[1,4; 2,6): -$, $(2,6; +\infty): +$.
4. Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").
Это интервал $[1,4; 2,6)$.
Ответ: $x \in [1,4; 2,6)$.

4) $\frac{x+5,8}{x-2,3} \ge 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x+5,8=0 \Rightarrow x=-5,8$.
• $x-2,3=0 \Rightarrow x=2,3$.

2. Отмечаем точки на числовой оси. Нуль числителя $x=-5,8$ — закрашенная точка. Нуль знаменателя $x=2,3$ — выколотая точка.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=3$ из интервала $(2,3; +\infty)$.
$\frac{3+5,8}{3-2,3} = \frac{8,8}{0,7} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -5,8]: +$, $[-5,8; 2,3): -$, $(2,3; +\infty): +$.
4. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").
Это интервалы $(-\infty; -5,8]$ и $(2,3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5,8] \cup (2,3; +\infty)$.

5) $\frac{3-x}{x-4} \ge 0$

Для удобства применения метода интервалов приведем выражение к стандартному виду, где коэффициент при $x$ положителен. Вынесем "-1" в числителе: $\frac{-(x-3)}{x-4} \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$\frac{x-3}{x-4} \le 0$.
Теперь решаем это неравенство методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=4$.
2. Точка $x=3$ — закрашенная, точка $x=4$ — выколотая.

3. Знаки для выражения $\frac{x-3}{x-4}$: $(-\infty; 3]: +$, $[3; 4): -$, $(4; +\infty): +$.
4. Выбираем интервал со знаком "-": $[3; 4)$.
Ответ: $x \in [3; 4)$.

6) $\frac{(x+5)(x+7)}{x-11} \le 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $(x+5)(x+7)=0 \Rightarrow x=-5, x=-7$.
• $x-11=0 \Rightarrow x=11$.

2. Отмечаем точки на оси. Нули числителя $x=-7$ и $x=-5$ — закрашенные. Нуль знаменателя $x=11$ — выколотый.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=12$ из интервала $(11; +\infty)$.
$\frac{(12+5)(12+7)}{12-11} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -7]: -$, $[-7; -5]: +$, $[-5; 11): -$, $(11; +\infty): +$.
4. Выбираем интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -7]$ и $[-5; 11)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-5; 11)$.

7) $\frac{x-6,5}{(x+3)(x-14)} \ge 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x-6,5=0 \Rightarrow x=6,5$.
• $(x+3)(x-14)=0 \Rightarrow x=-3, x=14$.

2. Отмечаем точки на оси. Нуль числителя $x=6,5$ — закрашенная. Нули знаменателя $x=-3$ и $x=14$ — выколотые.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=15$ из интервала $(14; +\infty)$.
$\frac{15-6,5}{(15+3)(15-14)} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -3): -$, $(-3; 6,5]: +$, $[6,5; 14): -$, $(14; +\infty): +$.
4. Выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $(-3; 6,5]$ и $(14; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3; 6,5] \cup (14; +\infty)$.

8) $\frac{x+6,8}{(7-x)(x-4)} \le 0$

Приведем выражение к стандартному виду. Вынесем "-1" из скобки $(7-x)$:
$\frac{x+6,8}{-(x-7)(x-4)} \le 0$.
Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак на противоположный:
$\frac{x+6,8}{(x-7)(x-4)} \ge 0$.
Решаем полученное неравенство методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x+6,8=0 \Rightarrow x=-6,8$.
• $(x-7)(x-4)=0 \Rightarrow x=7, x=4$.

2. Отмечаем точки на оси. Нуль числителя $x=-6,8$ — закрашенная. Нули знаменателя $x=4$ и $x=7$ — выколотые.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=10$ из интервала $(7; +\infty)$.
$\frac{10+6,8}{(10-7)(10-4)} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -6,8]: -$, $[-6,8; 4): +$, $(4; 7): -$, $(7; +\infty): +$.
4. Для неравенства $\ge 0$ выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $[-6,8; 4)$ и $(7; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-6,8; 4) \cup (7; +\infty)$.

36. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \geq 0;$

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x) < 0;$

3) $(x^2 + 9x + 14)(x^2 + 5x + 7) \geq 0;$

4) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 - 3x + 2} < 0;$

5) $\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 25} \geq 0.$

1) $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \geq 0$

Разложим на множители каждую скобку:

$x^2 + 5x = x(x+5)$

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$

Неравенство принимает вид:

$x(x+5)(x-4)(x+4) \geq 0$

Найдем нули функции $f(x) = x(x+5)(x-4)(x+4)$. Нулями являются точки $x=0$, $x=-5$, $x=4$, $x=-4$.

Расположим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-5, -4, 0, 4$. Они разбивают ось на пять интервалов.

Определим знак выражения в каждом интервале, взяв пробную точку:

• Интервал $(-\infty; -5)$: пусть $x=-6$, тогда $(-)(-)(-)(-) = +$. Знак "плюс".
• Интервал $(-5; -4)$: пусть $x=-4.5$, тогда $(-)(+)(-)(-) = -$. Знак "минус".
• Интервал $(-4; 0)$: пусть $x=-1$, тогда $(-)(+)(-)(+) = +$. Знак "плюс".
• Интервал $(0; 4)$: пусть $x=1$, тогда $(+)(+)(-)(+) = -$. Знак "минус".
• Интервал $(4; +\infty)$: пусть $x=5$, тогда $(+)(+)(+)(+) = +$. Знак "плюс".

Поскольку неравенство нестрогое ($\geq 0$), искомые значения $x$ находятся в интервалах со знаком "плюс", включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup [4; +\infty)$.

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x) < 0$

Разложим на множители каждую скобку:

Для $x^2 - 4x + 3 = 0$, по теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

$x^2 - 2x = x(x-2)$

Неравенство принимает вид:

$(x-1)(x-3)x(x-2) < 0$

Найдем нули функции: $x=0$, $x=1$, $x=2$, $x=3$.

Расположим точки на числовой оси: $0, 1, 2, 3$.

Определим знаки в интервалах:

• $(-\infty; 0)$: $x=-1 \implies (-)(-)(-)(-) = +$
• $(0; 1)$: $x=0.5 \implies (-)(-)(+)(-) = -$
• $(1; 2)$: $x=1.5 \implies (+)(-)(+)(-) = +$
• $(2; 3)$: $x=2.5 \implies (+)(-)(+)(+) = -$
• $(3; +\infty)$: $x=4 \implies (+)(+)(+)(+) = +$

Поскольку неравенство строгое ($< 0$), искомые значения $x$ находятся в интервалах со знаком "минус", не включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (2; 3)$.

3) $(x^2 + 9x + 14)(x^2 + 5x + 7) \geq 0$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $x^2 + 9x + 14$. Найдем его корни. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 = 5^2$.

$x_{1,2} = \frac{-9 \pm 5}{2} \implies x_1 = -7, x_2 = -2$.

Таким образом, $x^2 + 9x + 14 = (x+7)(x+2)$.

Второй множитель: $x^2 + 5x + 7$. Найдем его дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 + 5x + 7$ всегда положительно при любом значении $x$.

Так как $x^2 + 5x + 7 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства:

$(x+7)(x+2) \geq 0$

Нули этого выражения: $x=-7$ и $x=-2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-2; +\infty)$.

4) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 - 3x + 2} < 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5)$ (корни -1 и -5 по т. Виета).

Знаменатель: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ (корни 1 и 2 по т. Виета).

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+1)(x+5)}{(x-1)(x-2)} < 0$

Нули числителя: $x=-1, x=-5$.

Нули знаменателя (выколотые точки): $x=1, x=2$.

Наносим все точки на числовую ось: $-5, -1, 1, 2$.

Определяем знаки в интервалах:

• $(-\infty; -5)$: $x=-6 \implies \frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$
• $(-5; -1)$: $x=-2 \implies \frac{(-)(+)}{(-)(-)} = -$
• $(-1; 1)$: $x=0 \implies \frac{(+)(+)}{(-)(-)} = +$
• $(1; 2)$: $x=1.5 \implies \frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$
• $(2; +\infty)$: $x=3 \implies \frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$

Выбираем интервалы со знаком "минус", так как неравенство строгое ($< 0$).

Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (1; 2)$.

5) $\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 25} \geq 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 + 6x - 7 = (x+7)(x-1)$ (корни -7 и 1).

Знаменатель: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+7)(x-1)}{(x-5)(x+5)} \geq 0$

Нули числителя (включенные точки): $x=-7, x=1$.

Нули знаменателя (выколотые точки): $x=-5, x=5$.

Наносим все точки на числовую ось: $-7, -5, 1, 5$.

Определяем знаки в интервалах:

• $(-\infty; -7)$: $x=-8 \implies \frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$
• $(-7; -5)$: $x=-6 \implies \frac{(+)(-)}{(-)(-)} = -$
• $(-5; 1)$: $x=0 \implies \frac{(+)(-)}{(-)(+)} = +$
• $(1; 5)$: $x=2 \implies \frac{(+)(+)}{(-)(+)} = -$
• $(5; +\infty)$: $x=6 \implies \frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$

Выбираем интервалы со знаком "плюс". Учитываем, что нули числителя входят в решение, а нули знаменателя — нет.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup (-5; 1] \cup (5; +\infty)$.

37. Решите неравенство:

1) $(x+1)^3(x-1)^2(x-3)^6 < 0;$

2) $(x+1)^3(x-1)^2(x-3)^6 \le 0;$

3) $(x+3)^3(x-1)^2(x-3)^6(x-4)^5 \ge 0.$

Для решения данных неравенств воспользуемся методом интервалов.

1) $(x + 1)^3(x - 1)^2(x - 3)^6 < 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 1)^3(x - 1)^2(x - 3)^6$.
Нули множителей:

• $(x + 1)^3 = 0 \implies x_1 = -1$ (корень нечетной кратности, 3-й степени). При переходе через этот корень знак функции будет меняться.
• $(x - 1)^2 = 0 \implies x_2 = 1$ (корень четной кратности, 2-й степени). При переходе через этот корень знак функции меняться не будет.
• $(x - 3)^6 = 0 \implies x_3 = 3$ (корень четной кратности, 6-й степени). При переходе через этот корень знак функции меняться не будет.

2. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут выколотыми (не входят в решение).

3. Определим знак функции в каждом из полученных интервалов. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=4$:
$(4 + 1)^3(4 - 1)^2(4 - 3)^6 = 5^3 \cdot 3^2 \cdot 1^6$. Все множители положительны, значит, произведение больше нуля. Ставим знак `+` в интервале $(3; +\infty)$.
Двигаясь справа налево, расставим знаки с учетом кратности корней:

• Интервал $(3; +\infty)$: `+`
• Интервал $(1; 3)$: `+` (при переходе через $x=3$ кратность четная, знак сохраняется)
• Интервал $(-1; 1)$: `+` (при переходе через $x=1$ кратность четная, знак сохраняется)
• Интервал $(-\infty; -1)$: `-` (при переходе через $x=-1$ кратность нечетная, знак меняется)

Схематично знаки на оси: $(-\infty) \xrightarrow{-} -1 \xrightarrow{+} 1 \xrightarrow{+} 3 \xrightarrow{+} (+\infty)$.

4. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак `-`. Это интервал $(-\infty; -1)$.

Ответ: $(-\infty, -1)$.

2) $(x + 1)^3(x - 1)^2(x - 3)^6 \le 0$

1. Левая часть неравенства такая же, как в пункте 1), поэтому знаки на интервалах распределяются аналогично:
$(-\infty) \xrightarrow{-} -1 \xrightarrow{+} 1 \xrightarrow{+} 3 \xrightarrow{+} (+\infty)$.

2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому в решение нужно включить значения $x$, при которых выражение равно нулю ($f(x) = 0$), в дополнение к интервалам, где оно отрицательно ($f(x) < 0$).
Выражение равно нулю при $x = -1$, $x = 1$ и $x = 3$.

3. Объединяем интервал, где выражение отрицательно, и точки, где оно равно нулю.
Интервал $(-\infty; -1)$ удовлетворяет условию $f(x) < 0$.
Точка $x=-1$ удовлетворяет условию $f(x) = 0$, поэтому она включается в интервал, который становится $(-\infty; -1]$.
Точки $x=1$ и $x=3$ также удовлетворяют условию $f(x) = 0$, поэтому их нужно добавить в ответ как изолированные точки.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup \{1\} \cup \{3\}$.

3) $(x + 3)^3(x - 1)^2(x - 3)^6(x - 4)^5 \ge 0$

1. Найдем нули функции $g(x) = (x + 3)^3(x - 1)^2(x - 3)^6(x - 4)^5$.
Нули множителей:

• $x_1 = -3$ (кратность 3, нечетная, знак меняется).
• $x_2 = 1$ (кратность 2, четная, знак не меняется).
• $x_3 = 3$ (кратность 6, четная, знак не меняется).
• $x_4 = 4$ (кратность 5, нечетная, знак меняется).

2. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), точки будут закрашенными (входят в решение).

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(4; +\infty)$, взяв, например, $x=5$:
$(5+3)^3(5-1)^2(5-3)^6(5-4)^5 > 0$. Ставим знак `+`.
Двигаясь справа налево, расставим знаки с учетом кратности корней:

• Интервал $(4; +\infty)$: `+`
• Интервал $(3; 4)$: `-` (при переходе через $x=4$ знак меняется)
• Интервал $(1; 3)$: `-` (при переходе через $x=3$ знак не меняется)
• Интервал $(-3; 1)$: `-` (при переходе через $x=1$ знак не меняется)
• Интервал $(-\infty; -3)$: `+` (при переходе через $x=-3$ знак меняется)

Схематично знаки на оси: $(-\infty) \xrightarrow{+} -3 \xrightarrow{-} 1 \xrightarrow{-} 3 \xrightarrow{-} 4 \xrightarrow{+} (+\infty)$.

4. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($g(x) \ge 0$).
Это интервалы, где стоит знак `+`, а также все точки, где выражение равно нулю.
Интервалы со знаком `+`: $(-\infty; -3)$ и $(4; +\infty)$.
Точки, где $g(x)=0$: $x=-3, x=1, x=3, x=4$.
Объединяя, получаем: интервал $(-\infty; -3]$ (включая корень $x=-3$), интервал $[4; +\infty)$ (включая корень $x=4$), а также изолированные точки $x=1$ и $x=3$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup \{1\} \cup \{3\} \cup [4, \infty)$.

38. Решите неравенство:

1) $(x+2)^2(x^2+2x-3) < 0;$

2) $(x+2)^2(x^2+2x-3) \le 0;$

3) $(x+2)^2(x^2+2x-3) > 0;$

4) $(x+2)^2(x^2+2x-3) \ge 0.$

Для решения всех четырех неравенств сначала проанализируем выражение $f(x) = (x + 2)^2(x^2 + 2x - 3)$ и решим его методом интервалов.

1. Найдем нули функции, то есть решим уравнение $f(x) = 0$:

$(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• $(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Это корень кратности 2 (четная кратность).
• $x^2 + 2x - 3 = 0$. Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -2$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Этим условиям удовлетворяют корни $x = 1$ и $x = -3$. Это корни кратности 1 (нечетная кратность).

Таким образом, нули функции: $x = -3$, $x = -2$ и $x = 1$.

2. Нанесем нули на числовую прямую и определим знаки функции в получившихся интервалах.

Выражение можно представить в виде $f(x) = (x+3)(x-1)(x+2)^2$.

Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен (равен нулю при $x=-2$ и положителен при всех остальных $x$). Поэтому знак всего выражения при $x \neq -2$ совпадает со знаком произведения $(x+3)(x-1)$. График функции $y = (x+3)(x-1)$ — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках -3 и 1. Следовательно, это выражение положительно при $x < -3$ и $x > 1$, и отрицательно при $-3 < x < 1$.

С учетом этого, знаки функции $f(x)$ на интервалах будут следующими:

• Интервал $(-\infty, -3)$: $f(x) > 0$ (знак "+")
• Интервал $(-3, 1)$: $f(x) < 0$ (знак "-"). Точка $x=-2$ находится внутри этого интервала, но так как $f(-2)=0$, а при переходе через корень четной кратности знак не меняется, то на интервалах $(-3, -2)$ и $(-2, 1)$ знак будет одинаковый — "минус".
• Интервал $(1, +\infty)$: $f(x) > 0$ (знак "+")

Теперь решим каждое неравенство.

1) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) < 0$

Неравенство строгое, поэтому ищем интервалы, где функция $f(x)$ отрицательна. Согласно нашему анализу, это интервалы $(-3, -2)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 1)$.

2) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) \le 0$

Неравенство нестрогое, поэтому к решению предыдущего пункта добавляем нули функции: $x = -3, x = -2, x = 1$. Объединяя интервалы $(-3, -2) \cup (-2, 1)$ с точками $-3, -2, 1$, получаем единый отрезок.

Ответ: $x \in [-3, 1]$.

3) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) > 0$

Неравенство строгое, ищем интервалы, где функция $f(x)$ положительна. Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

4) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) \ge 0$

Неравенство нестрогое. К решению предыдущего пункта $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$ добавляем все нули функции: $x = -3, x = -2, x = 1$. Включаем точки $-3$ и $1$ в интервалы и добавляем изолированную точку $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup [1, +\infty)$.

39. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} > 0;$

2) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} < 0;$

4) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} \le 0;$

5) $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} > 0;$

6) $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} \ge 0;$

7) $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} < 0;$

8) $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} > 0$.
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
Числитель: найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 6, x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - 3x - 18 = (x+3)(x-6)$.
Знаменатель: $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности, $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x+3)(x-6)}{(x-5)^2} > 0$.
Решим его методом интервалов. Нули числителя: $x = -3, x = 6$. Нуль знаменателя: $x = 5$.
Отметим эти точки на числовой оси. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а $x=5$ не входит в область определения. Корень $x=5$ имеет кратность 2, поэтому при переходе через эту точку знак выражения не меняется.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$, $(5; 6)$, $(6; \infty)$. Расстановка знаков слева направо: +, -, -, +.
Поскольку неравенство имеет знак $> 0$, выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (6; \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} \geq 0$.
Используем разложение на множители из предыдущего пункта: $\frac{(x+3)(x-6)}{(x-5)^2} \geq 0$.
Интервалы знакопостоянства и знаки на них такие же: +, -, -, + на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$, $(5; 6)$, $(6; \infty)$.
Так как неравенство нестрогое ($\geq$), нули числителя $x=-3$ и $x=6$ включаются в решение. Нуль знаменателя $x=5$ по-прежнему исключается.
Выбираем интервалы со знаком "+" и добавляем к ним нули числителя.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [6; \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} < 0$.
Используем разложение на множители: $\frac{(x+3)(x-6)}{(x-5)^2} < 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки $(-3, 5, 6)$ выколотые.
Выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $x \in (-3; 5) \cup (5; 6)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} \leq 0$.
Используем разложение на множители: $\frac{(x+3)(x-6)}{(x-5)^2} \leq 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому нули числителя $x=-3$ и $x=6$ включаются в решение. Точка $x=5$ исключается.
Выбираем интервалы со знаком "-" и добавляем нули числителя.
Ответ: $x \in [-3; 5) \cup (5; 6]$.

5) Решим неравенство $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} > 0$.
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
Числитель: $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы, $x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.
Знаменатель: найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = -5$. Таким образом, $x^2 + 4x - 5 = (x-1)(x+5)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x+4)^2}{(x-1)(x+5)} > 0$.
Решим его методом интервалов. Нуль числителя: $x = -4$. Нули знаменателя: $x = 1, x = -5$.
Отметим точки $-5, -4, 1$ на числовой оси. Все точки выколотые. Корень $x=-4$ имеет кратность 2, поэтому при переходе через него знак не меняется.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -5)$, $(-5; -4)$, $(-4; 1)$, $(1; \infty)$. Расстановка знаков слева направо: +, -, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} \geq 0$.
Используем разложение на множители из предыдущего пункта: $\frac{(x+4)^2}{(x-1)(x+5)} \geq 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому нуль числителя $x=-4$ включается в решение. Нули знаменателя $x=-5$ и $x=1$ исключаются.
Выбираем интервалы со знаком "+" и добавляем к ним изолированную точку $x=-4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup \{-4\} \cup (1; \infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} < 0$.
Используем разложение на множители: $\frac{(x+4)^2}{(x-1)(x+5)} < 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки $(-5, -4, 1)$ выколотые.
Выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (-4; 1)$.

8) Решим неравенство $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} \leq 0$.
Используем разложение на множители: $\frac{(x+4)^2}{(x-1)(x+5)} \leq 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому нуль числителя $x=-4$ включается в решение. Нули знаменателя $x=-5$ и $x=1$ исключаются.
Выбираем интервалы со знаком "-" и добавляем нуль числителя. Объединение множеств $(-5; -4) \cup (-4; 1)$ и $\{-4\}$ дает интервал $(-5; 1)$.
Ответ: $x \in (-5; 1)$.