Номер 35, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+3}{x-6} < 0;$

2) $\frac{x-5}{x+7} > 0;$

3) $\frac{x-1,4}{x-2,6} \le 0;$

4) $\frac{x+5,8}{x-2,3} \ge 0;$

5) $\frac{3-x}{x-4} \ge 0;$

6) $\frac{(x+5)(x+7)}{x-11} \le 0;$

7) $\frac{x-6,5}{(x+3)(x-14)} \ge 0;$

8) $\frac{x+6,8}{(7-x)(x-4)} \le 0.$

1) $\frac{x+3}{x-6} < 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Находим нули числителя и знаменателя.

• Нуль числителя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
• Нуль знаменателя: $x-6=0 \Rightarrow x=6$.

2. Отмечаем найденные точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($<0$), обе точки будут выколотыми (не включены в решение).

3. Определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(6; +\infty)$, например, $x=10$.
$\frac{10+3}{10-6} = \frac{13}{4} > 0$. Ставим знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться: $(-\infty; -3): +$, $(-3; 6): -$, $(6; +\infty): +$.
4. Нам нужно найти множество решений для $\frac{x+3}{x-6} < 0$, то есть выбрать интервал со знаком "-".
Это интервал $(-3; 6)$.
Ответ: $x \in (-3; 6)$.

2) $\frac{x-5}{x+7} > 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x-5=0 \Rightarrow x=5$.
• $x+7=0 \Rightarrow x=-7$.

2. Отмечаем точки $-7$ и $5$ на числовой оси. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое ($>0$).

3. Определяем знаки. Возьмем $x=10$ из интервала $(5; +\infty)$.
$\frac{10-5}{10+7} = \frac{5}{17} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -7): +$, $(-7; 5): -$, $(5; +\infty): +$.
4. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Это интервалы $(-\infty; -7)$ и $(5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (5; +\infty)$.

3) $\frac{x-1,4}{x-2,6} \le 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x-1,4=0 \Rightarrow x=1,4$.
• $x-2,6=0 \Rightarrow x=2,6$.

2. Отмечаем точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), нуль числителя ($x=1,4$) будет закрашенной точкой (включен в решение). Нуль знаменателя ($x=2,6$) всегда выкалывается, так как на ноль делить нельзя.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=3$ из интервала $(2,6; +\infty)$.
$\frac{3-1,4}{3-2,6} = \frac{1,6}{0,4} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; 1,4]: +$, $[1,4; 2,6): -$, $(2,6; +\infty): +$.
4. Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").
Это интервал $[1,4; 2,6)$.
Ответ: $x \in [1,4; 2,6)$.

4) $\frac{x+5,8}{x-2,3} \ge 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x+5,8=0 \Rightarrow x=-5,8$.
• $x-2,3=0 \Rightarrow x=2,3$.

2. Отмечаем точки на числовой оси. Нуль числителя $x=-5,8$ — закрашенная точка. Нуль знаменателя $x=2,3$ — выколотая точка.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=3$ из интервала $(2,3; +\infty)$.
$\frac{3+5,8}{3-2,3} = \frac{8,8}{0,7} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -5,8]: +$, $[-5,8; 2,3): -$, $(2,3; +\infty): +$.
4. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").
Это интервалы $(-\infty; -5,8]$ и $(2,3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5,8] \cup (2,3; +\infty)$.

5) $\frac{3-x}{x-4} \ge 0$

Для удобства применения метода интервалов приведем выражение к стандартному виду, где коэффициент при $x$ положителен. Вынесем "-1" в числителе: $\frac{-(x-3)}{x-4} \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$\frac{x-3}{x-4} \le 0$.
Теперь решаем это неравенство методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=4$.
2. Точка $x=3$ — закрашенная, точка $x=4$ — выколотая.

3. Знаки для выражения $\frac{x-3}{x-4}$: $(-\infty; 3]: +$, $[3; 4): -$, $(4; +\infty): +$.
4. Выбираем интервал со знаком "-": $[3; 4)$.
Ответ: $x \in [3; 4)$.

6) $\frac{(x+5)(x+7)}{x-11} \le 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $(x+5)(x+7)=0 \Rightarrow x=-5, x=-7$.
• $x-11=0 \Rightarrow x=11$.

2. Отмечаем точки на оси. Нули числителя $x=-7$ и $x=-5$ — закрашенные. Нуль знаменателя $x=11$ — выколотый.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=12$ из интервала $(11; +\infty)$.
$\frac{(12+5)(12+7)}{12-11} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -7]: -$, $[-7; -5]: +$, $[-5; 11): -$, $(11; +\infty): +$.
4. Выбираем интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -7]$ и $[-5; 11)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-5; 11)$.

7) $\frac{x-6,5}{(x+3)(x-14)} \ge 0$

Решаем методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x-6,5=0 \Rightarrow x=6,5$.
• $(x+3)(x-14)=0 \Rightarrow x=-3, x=14$.

2. Отмечаем точки на оси. Нуль числителя $x=6,5$ — закрашенная. Нули знаменателя $x=-3$ и $x=14$ — выколотые.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=15$ из интервала $(14; +\infty)$.
$\frac{15-6,5}{(15+3)(15-14)} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -3): -$, $(-3; 6,5]: +$, $[6,5; 14): -$, $(14; +\infty): +$.
4. Выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $(-3; 6,5]$ и $(14; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3; 6,5] \cup (14; +\infty)$.

8) $\frac{x+6,8}{(7-x)(x-4)} \le 0$

Приведем выражение к стандартному виду. Вынесем "-1" из скобки $(7-x)$:
$\frac{x+6,8}{-(x-7)(x-4)} \le 0$.
Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак на противоположный:
$\frac{x+6,8}{(x-7)(x-4)} \ge 0$.
Решаем полученное неравенство методом интервалов.
1. Нули числителя и знаменателя:

• $x+6,8=0 \Rightarrow x=-6,8$.
• $(x-7)(x-4)=0 \Rightarrow x=7, x=4$.

2. Отмечаем точки на оси. Нуль числителя $x=-6,8$ — закрашенная. Нули знаменателя $x=4$ и $x=7$ — выколотые.

3. Определяем знаки. Возьмем $x=10$ из интервала $(7; +\infty)$.
$\frac{10+6,8}{(10-7)(10-4)} > 0$. Знак "+".
Чередуем знаки: $(-\infty; -6,8]: -$, $[-6,8; 4): +$, $(4; 7): -$, $(7; +\infty): +$.
4. Для неравенства $\ge 0$ выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $[-6,8; 4)$ и $(7; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-6,8; 4) \cup (7; +\infty)$.