Номер 32, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) $x^4 = 4x^2$ и $x^2 = 4$;

2) $\frac{x-4}{x-4} = 1$ и $x-x = 0$;

3) $|x-5| = 2$ и $(x-5)^3 = 8$;

4) $\frac{x}{\sqrt{x-3}} = \frac{9}{\sqrt{x-3}}$ и $x = 9$;

5) $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-3}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-3}}$ и $x^2 = 16$;

6) $\sqrt{x+15} \cdot \sqrt{x-10} = 0$ и $\sqrt{(x+15)(x-10)} = 0$;

7) $(x-8)\sqrt{x+21} = 0$ и $(x+21)\sqrt{x-8} = 0?

Уравнение (Б) является следствием уравнения (А), если множество всех корней уравнения (А) является подмножеством множества всех корней уравнения (Б). Если множества корней совпадают, уравнения называются равносильными, и в этом случае каждое является следствием другого.

1) $x^4 = 4x^2$ и $x^2 = 4$
Решим первое уравнение: $x^4 - 4x^2 = 0 \implies x^2(x^2 - 4) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$. Множество корней $S_1 = \{-2, 0, 2\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 = 4$. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Множество корней $S_2 = \{-2, 2\}$.
Поскольку $S_2 \subset S_1$ (каждый корень второго уравнения является корнем первого), то первое уравнение является следствием второго.
Ответ: Уравнение $x^4 = 4x^2$ является следствием уравнения $x^2 = 4$.

2) $\frac{x-4}{x-4} = 1$ и $x-x=0$
Первое уравнение определено при $x-4 \neq 0$, то есть при $x \neq 4$. На области определения оно представляет собой тождество $1=1$. Таким образом, его решением являются все действительные числа, кроме $4$. Множество решений $S_1 = \mathbb{R} \setminus \{4\}$.
Второе уравнение $x-x=0$ упрощается до тождества $0=0$, которое верно для любого действительного числа $x$. Множество решений $S_2 = \mathbb{R}$.
Поскольку $S_1 \subset S_2$, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: Уравнение $x-x=0$ является следствием уравнения $\frac{x-4}{x-4} = 1$.

3) $|x-5| = 2$ и $(x-5)^3 = 8$
Решим первое уравнение: $|x-5| = 2$. Это равносильно совокупности двух уравнений: $x-5 = 2$ или $x-5 = -2$. Отсюда получаем корни $x_1 = 7$ и $x_2 = 3$. Множество корней $S_1 = \{3, 7\}$.
Решим второе уравнение: $(x-5)^3 = 8$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x-5 = 2$, откуда $x=7$. Множество корней $S_2 = \{7\}$.
Поскольку $S_2 \subset S_1$, первое уравнение является следствием второго.
Ответ: Уравнение $|x-5| = 2$ является следствием уравнения $(x-5)^3 = 8$.

4) $\frac{x}{\sqrt{x-3}} = \frac{9}{\sqrt{x-3}}$ и $x=9$
Область допустимых значений (ОДЗ) первого уравнения: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$. На этой области уравнение равносильно $x=9$. Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ. Множество корней $S_1 = \{9\}$.
Второе уравнение $x=9$ имеет единственный корень $x=9$. Множество корней $S_2 = \{9\}$.
Поскольку множества корней совпадают ($S_1 = S_2$), уравнения равносильны. Это значит, что каждое из них является следствием другого.
Ответ: Уравнения равносильны, каждое является следствием другого.

5) $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-3}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-3}}$ и $x^2 = 16$
ОДЗ первого уравнения: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$. На ОДЗ уравнение упрощается до $x^2 = 16$, корни которого $x=4$ и $x=-4$. Условию $x>3$ удовлетворяет только $x=4$. Множество корней первого уравнения $S_1 = \{4\}$.
Второе уравнение $x^2=16$ имеет корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Множество корней $S_2 = \{-4, 4\}$.
Поскольку $S_1 \subset S_2$, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: Уравнение $x^2 = 16$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-3}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-3}}$.

6) $\sqrt{x+15} \cdot \sqrt{x-10} = 0$ и $\sqrt{(x+15)(x-10)} = 0$
ОДЗ первого уравнения: $x+15 \ge 0$ и $x-10 \ge 0$, что дает $x \ge 10$. На ОДЗ уравнение распадается на $\sqrt{x+15}=0$ (корень $x=-15$, не входит в ОДЗ) и $\sqrt{x-10}=0$ (корень $x=10$, входит в ОДЗ). Таким образом, множество корней $S_1 = \{10\}$.
ОДЗ второго уравнения: $(x+15)(x-10) \ge 0$, что дает $x \in (-\infty, -15] \cup [10, \infty)$. Решение уравнения $\sqrt{(x+15)(x-10)}=0$ сводится к $(x+15)(x-10)=0$, откуда $x_1=-15$, $x_2=10$. Оба корня принадлежат ОДЗ. Множество корней $S_2 = \{-15, 10\}$.
Поскольку $S_1 \subset S_2$, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: Уравнение $\sqrt{(x+15)(x-10)} = 0$ является следствием уравнения $\sqrt{x+15} \cdot \sqrt{x-10} = 0$.

7) $(x-8)\sqrt{x+21} = 0$ и $(x+21)\sqrt{x-8} = 0$
ОДЗ первого уравнения: $x+21 \ge 0 \implies x \ge -21$. Корни находятся из $x-8=0$ или $\sqrt{x+21}=0$. Получаем $x_1=8$, $x_2=-21$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Множество корней $S_1 = \{-21, 8\}$.
ОДЗ второго уравнения: $x-8 \ge 0 \implies x \ge 8$. Корни находятся из $x+21=0$ или $\sqrt{x-8}=0$. Получаем $x_1=-21$ (не входит в ОДЗ) и $x_2=8$ (входит в ОДЗ). Множество корней $S_2 = \{8\}$.
Поскольку $S_2 \subset S_1$, первое уравнение является следствием второго.
Ответ: Уравнение $(x-8)\sqrt{x+21} = 0$ является следствием уравнения $(x+21)\sqrt{x-8} = 0$.