Номер 25, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = -x^2 + 2;$

2) $y = \frac{1}{x^2};$

3) $y = 4.$

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна (инъективна), то есть каждому значению $y$ из области значений соответствует ровно одно значение $x$ из области определения. Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$), для которых значения функции равны, то есть $f(x_1) = f(x_2)$.

Рассмотрим данную функцию. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Область определения функции — все действительные числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Возьмем два различных симметричных относительно нуля значения аргумента, например, $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие им значения функции:

$y(1) = -(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$y(-1) = -(-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

Поскольку различным значениям аргумента $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$ соответствует одно и то же значение функции $y = 1$, данная функция не является взаимно-однозначной, а значит, и не является обратимой.

Ответ: функция $y = -x^2 + 2$ не является обратимой, так как она не является взаимно-однозначной (например, $y(1) = y(-1) = 1$).

Область определения данной функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Возьмем два различных значения аргумента из области определения, например, $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$y(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

Так как разным значениям аргумента $x=2$ и $x=-2$ соответствует одно и то же значение функции $y = \frac{1}{4}$, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.

Ответ: функция $y = \frac{1}{x^2}$ не является обратимой, так как она не является взаимно-однозначной (например, $y(2) = y(-2) = \frac{1}{4}$).

Данная функция является постоянной (константой). Область ее определения — все действительные числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда равно 4. Возьмем любые два различных значения аргумента, например, $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Найдем значения функции в этих точках:

$y(0) = 4$

$y(5) = 4$

Поскольку бесконечному множеству различных значений аргумента $x$ соответствует одно-единственное значение функции $y=4$, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.

Ответ: функция $y = 4$ не является обратимой, так как она является постоянной и принимает одно и то же значение для всех $x$ из области определения.