Номер 22, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2x + 1}$;

2) $y = \frac{1}{1 - 2x}$;

3) $y = \frac{4}{2x - 1} + 2$.

1) $y = \frac{1}{2x+1}$

Графиком данной функции является гипербола. Для ее построения определим основные характеристики.

Область определения:
Знаменатель не может быть равен нулю: $2x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -0.5$.

Асимптоты:
Вертикальная асимптота — прямая, где знаменатель обращается в ноль: $x = -0.5$.
Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$, так как при $x \to \pm\infty$ значение функции стремится к нулю.

Точки для построения:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2 \cdot 0 + 1} = 1$. Точка $(0; 1)$.
• При $x = -1$, $y = \frac{1}{2 \cdot (-1) + 1} = -1$. Точка $(-1; -1)$.
• При $x = 0.5$, $y = \frac{1}{2 \cdot 0.5 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Точка $(0.5; 0.5)$.
• При $x = -1.5$, $y = \frac{1}{2 \cdot (-1.5) + 1} = -\frac{1}{2} = -0.5$. Точка $(-1.5; -0.5)$.

Построение графика:
В системе координат строим асимптоты $x=-0.5$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки и соединяем их плавными линиями, получая две ветви гиперболы. Ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно точки пересечения асимптот $(-0.5; 0)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=-0.5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График проходит через точки $(0; 1)$ и $(-1; -1)$.

2) $y = \frac{1}{1-2x}$

Графиком данной функции является гипербола.

Область определения:
Знаменатель не равен нулю: $1-2x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0.5$.

Асимптоты:
Вертикальная асимптота: $x = 0.5$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Точки для построения:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{1 - 2 \cdot 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.
• При $x = 1$, $y = \frac{1}{1 - 2 \cdot 1} = -1$. Точка $(1; -1)$.
• При $x = -0.5$, $y = \frac{1}{1 - 2 \cdot (-0.5)} = \frac{1}{2} = 0.5$. Точка $(-0.5; 0.5)$.
• При $x = 1.5$, $y = \frac{1}{1 - 2 \cdot 1.5} = -\frac{1}{2} = -0.5$. Точка $(1.5; -0.5)$.

Построение графика:
В системе координат строим асимптоты $x=0.5$ и $y=0$. Отмечаем точки и соединяем их плавными кривыми. Функцию можно представить как $y = -\frac{1}{2x-1}$. Из-за знака минус ветви гиперболы будут расположены во второй и четвертой четвертях относительно точки пересечения асимптот $(0.5; 0)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=0.5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. График проходит через точки $(0; 1)$ и $(1; -1)$.

3) $y = \frac{4}{2x-1} + 2$

Графиком функции является гипербола. Преобразуем функцию: $y = \frac{4}{2(x-0.5)} + 2 = \frac{2}{x-0.5} + 2$. Это график функции $y = \frac{2}{x}$, смещенный на $0.5$ единиц вправо и на $2$ единицы вверх.

Область определения:
$2x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0.5$.

Асимптоты:
Вертикальная асимптота (определяется сдвигом по горизонтали): $x = 0.5$.
Горизонтальная асимптота (определяется сдвигом по вертикали): $y = 2$.

Точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4}{0-1} + 2 = -4 + 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
• С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4}{2x-1} + 2 \implies -2 = \frac{4}{2x-1} \implies -2(2x-1)=4 \implies -4x+2=4 \implies -4x=2 \implies x=-0.5$. Точка $(-0.5; 0)$.

Дополнительные точки:

• При $x = 1$, $y = \frac{4}{2 \cdot 1 - 1} + 2 = 4 + 2 = 6$. Точка $(1; 6)$.
• При $x = 2.5$, $y = \frac{4}{2 \cdot 2.5 - 1} + 2 = \frac{4}{4} + 2 = 3$. Точка $(2.5; 3)$.

Построение графика:
В системе координат строим асимптоты $x=0.5$ и $y=2$. Отмечаем точки пересечения с осями и дополнительные точки. Соединяем их, получая две ветви гиперболы, расположенные в первой и третьей четвертях относительно новых асимптот.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=0.5$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. График пересекает оси координат в точках $(0; -2)$ и $(-0.5; 0)$.