Номер 27, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 5 - 4x$;

2) $y = \frac{6}{1 - x}$;

3) $y = 2 - \sqrt{x - 3}$;

4) $y = x^2, x \in (-\infty; -2]$;

5) $y = \frac{x}{x + 3}$.

Для нахождения функции, обратной к данной $y = f(x)$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$, а затем в полученном выражении $x = g(y)$ поменять переменные $x$ и $y$ местами. Важно также определить область определения и область значений для исходной и обратной функций, так как область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной — с областью определения исходной.

1) $y = 5 - 4x$

Это линейная функция, ее область определения и область значений — все действительные числа. Выразим $x$ через $y$:

$4x = 5 - y$

$x = \frac{5 - y}{4}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{5 - x}{4}$

Ответ: $y = \frac{5-x}{4}$.

2) $y = \frac{6}{1 - x}$

Найдем область определения исходной функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Выразим $x$ через $y$:

$y(1-x) = 6$

Так как $y$ не может быть равно нулю (иначе $6=0$, что неверно), можем разделить на $y$:

$1 - x = \frac{6}{y}$

$x = 1 - \frac{6}{y}$

Заменяя $x$ на $y$ и $y$ на $x$, получаем обратную функцию:

$y = 1 - \frac{6}{x}$

Ответ: $y = 1 - \frac{6}{x}$.

3) $y = 2 - \sqrt{x - 3}$

Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Итак, $D(y) = [3, +\infty)$.

Найдем область значений. Так как $\sqrt{x-3} \ge 0$, то $-\sqrt{x-3} \le 0$. Следовательно, $y = 2 - \sqrt{x-3} \le 2$. Итак, $E(y) = (-\infty, 2]$.

Выразим $x$ через $y$:

$\sqrt{x - 3} = 2 - y$

Поскольку левая часть (арифметический корень) неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $2 - y \ge 0$, то есть $y \le 2$, что соответствует найденной области значений.

Возведем обе части в квадрат:

$x - 3 = (2 - y)^2$

$x = (2 - y)^2 + 3$

Меняем $x$ и $y$ местами:

$y = (2 - x)^2 + 3$

Область определения обратной функции — это область значений исходной: $x \in (-\infty, 2]$.

Ответ: $y = (2 - x)^2 + 3$, при $x \in (-\infty, 2]$.

4) $y = x^2, x \in (-\infty, -2]$

Область определения дана: $D(y) = (-\infty, -2]$.

На этом интервале функция $y = x^2$ строго убывает. Найдем область значений. При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Поскольку $x$ уходит в $-\infty$, $y$ уходит в $+\infty$. Таким образом, $E(y) = [4, +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$:

$x^2 = y$

$x = \pm \sqrt{y}$

Поскольку по условию $x \in (-\infty, -2]$, то есть $x$ — отрицательное число, мы выбираем знак минус:

$x = -\sqrt{y}$

Меняем $x$ и $y$ местами:

$y = -\sqrt{x}$

Область определения обратной функции — это область значений исходной: $x \in [4, +\infty)$.

Ответ: $y = -\sqrt{x}$, при $x \in [4, +\infty)$.

5) $y = \frac{x}{x + 3}$

Найдем область определения: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Выразим $x$ через $y$:

$y(x + 3) = x$

$yx + 3y = x$

$3y = x - yx$

$3y = x(1 - y)$

Если $1 - y \neq 0$, то есть $y \neq 1$, то $x = \frac{3y}{1 - y}$. Таким образом, область значений исходной функции $E(y) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Меняем $x$ и $y$ местами:

$y = \frac{3x}{1 - x}$

Ответ: $y = \frac{3x}{1 - x}$.