Номер 33, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x > 7$ и $x \ge -5$;

2) $x \le 10$ и $x < 10$;

3) $|x| < 12$ и $x < 12$;

4) $x^2 > 16$ и $x > 4$?

1) $x > 7$ и $x \ge -5$;
Неравенство А является следствием неравенства В, если любое решение неравенства В является также решением неравенства А (то есть, множество решений В является подмножеством множества решений А).
Рассмотрим пару $x > 7$ и $x \ge -5$.
Множество решений неравенства $x > 7$ — это интервал $(7, +\infty)$.
Множество решений неравенства $x \ge -5$ — это луч $[-5, +\infty)$.
Поскольку любое число, которое больше 7, очевидно, больше и -5, то множество $(7, +\infty)$ является подмножеством множества $[-5, +\infty)$. Следовательно, неравенство $x \ge -5$ является следствием неравенства $x > 7$.
Обратное утверждение неверно: например, число $x = 0$ удовлетворяет второму неравенству ($0 \ge -5$), но не удовлетворяет первому ($0 > 7$).
Ответ: неравенство $x \ge -5$ является следствием неравенства $x > 7$.

2) $x \le 10$ и $x < 10$;
Рассмотрим пару $x \le 10$ и $x < 10$.
Множество решений неравенства $x < 10$ — это интервал $(-\infty, 10)$.
Множество решений неравенства $x \le 10$ — это луч $(-\infty, 10]$.
Любое число, которое строго меньше 10, также будет меньше или равно 10. Таким образом, множество $(-\infty, 10)$ является подмножеством множества $(-\infty, 10]$. Это означает, что неравенство $x \le 10$ является следствием неравенства $x < 10$.
Обратное утверждение неверно: число $x = 10$ является решением неравенства $x \le 10$, но не является решением неравенства $x < 10$.
Ответ: неравенство $x \le 10$ является следствием неравенства $x < 10$.

3) $|x| < 12$ и $x < 12$;
Рассмотрим пару $|x| < 12$ и $x < 12$.
Неравенство $|x| < 12$ равносильно двойному неравенству $-12 < x < 12$. Множество его решений — интервал $(-12, 12)$.
Множество решений неравенства $x < 12$ — это луч $(-\infty, 12)$.
Любое число из интервала $(-12, 12)$ также меньше 12. Следовательно, множество $(-12, 12)$ является подмножеством множества $(-\infty, 12)$. Это значит, что неравенство $x < 12$ является следствием неравенства $|x| < 12$.
Обратное утверждение неверно: например, число $x = -20$ удовлетворяет неравенству $x < 12$, но не удовлетворяет неравенству $|x| < 12$, так как $|-20| = 20$, а $20$ не меньше 12.
Ответ: неравенство $x < 12$ является следствием неравенства $|x| < 12$.

4) $x^2 > 16$ и $x > 4$?
Рассмотрим пару $x^2 > 16$ и $x > 4$.
Множество решений неравенства $x > 4$ — это интервал $(4, +\infty)$.
Неравенство $x^2 > 16$ равносильно $|x| > 4$, что означает $x > 4$ или $x < -4$. Множество решений этого неравенства — объединение двух интервалов $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Множество $(4, +\infty)$ является подмножеством множества $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$. Таким образом, если выполняется неравенство $x > 4$, то выполняется и неравенство $x^2 > 16$. Это означает, что неравенство $x^2 > 16$ является следствием неравенства $x > 4$.
Обратное утверждение неверно: например, число $x = -5$ удовлетворяет неравенству $x^2 > 16$ (так как $(-5)^2 = 25 > 16$), но не удовлетворяет неравенству $x > 4$.
Ответ: неравенство $x^2 > 16$ является следствием неравенства $x > 4$.