Номер 39, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} > 0;$

2) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} < 0;$

4) $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} \le 0;$

5) $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} > 0;$

6) $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} \ge 0;$

7) $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} < 0;$

8) $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} > 0$.
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
Числитель: найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 6, x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - 3x - 18 = (x+3)(x-6)$.
Знаменатель: $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности, $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x+3)(x-6)}{(x-5)^2} > 0$.
Решим его методом интервалов. Нули числителя: $x = -3, x = 6$. Нуль знаменателя: $x = 5$.
Отметим эти точки на числовой оси. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а $x=5$ не входит в область определения. Корень $x=5$ имеет кратность 2, поэтому при переходе через эту точку знак выражения не меняется.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$, $(5; 6)$, $(6; \infty)$. Расстановка знаков слева направо: +, -, -, +.
Поскольку неравенство имеет знак $> 0$, выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (6; \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} \geq 0$.
Используем разложение на множители из предыдущего пункта: $\frac{(x+3)(x-6)}{(x-5)^2} \geq 0$.
Интервалы знакопостоянства и знаки на них такие же: +, -, -, + на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$, $(5; 6)$, $(6; \infty)$.
Так как неравенство нестрогое ($\geq$), нули числителя $x=-3$ и $x=6$ включаются в решение. Нуль знаменателя $x=5$ по-прежнему исключается.
Выбираем интервалы со знаком "+" и добавляем к ним нули числителя.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [6; \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} < 0$.
Используем разложение на множители: $\frac{(x+3)(x-6)}{(x-5)^2} < 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки $(-3, 5, 6)$ выколотые.
Выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $x \in (-3; 5) \cup (5; 6)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 10x + 25} \leq 0$.
Используем разложение на множители: $\frac{(x+3)(x-6)}{(x-5)^2} \leq 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому нули числителя $x=-3$ и $x=6$ включаются в решение. Точка $x=5$ исключается.
Выбираем интервалы со знаком "-" и добавляем нули числителя.
Ответ: $x \in [-3; 5) \cup (5; 6]$.

5) Решим неравенство $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} > 0$.
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
Числитель: $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы, $x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.
Знаменатель: найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = -5$. Таким образом, $x^2 + 4x - 5 = (x-1)(x+5)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x+4)^2}{(x-1)(x+5)} > 0$.
Решим его методом интервалов. Нуль числителя: $x = -4$. Нули знаменателя: $x = 1, x = -5$.
Отметим точки $-5, -4, 1$ на числовой оси. Все точки выколотые. Корень $x=-4$ имеет кратность 2, поэтому при переходе через него знак не меняется.
Определим знаки на интервалах $(-\infty; -5)$, $(-5; -4)$, $(-4; 1)$, $(1; \infty)$. Расстановка знаков слева направо: +, -, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} \geq 0$.
Используем разложение на множители из предыдущего пункта: $\frac{(x+4)^2}{(x-1)(x+5)} \geq 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому нуль числителя $x=-4$ включается в решение. Нули знаменателя $x=-5$ и $x=1$ исключаются.
Выбираем интервалы со знаком "+" и добавляем к ним изолированную точку $x=-4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup \{-4\} \cup (1; \infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} < 0$.
Используем разложение на множители: $\frac{(x+4)^2}{(x-1)(x+5)} < 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки $(-5, -4, 1)$ выколотые.
Выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (-4; 1)$.

8) Решим неравенство $\frac{x^2 + 8x + 16}{x^2 + 4x - 5} \leq 0$.
Используем разложение на множители: $\frac{(x+4)^2}{(x-1)(x+5)} \leq 0$.
Расстановка знаков на интервалах: +, -, -, +.
Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому нуль числителя $x=-4$ включается в решение. Нули знаменателя $x=-5$ и $x=1$ исключаются.
Выбираем интервалы со знаком "-" и добавляем нуль числителя. Объединение множеств $(-5; -4) \cup (-4; 1)$ и $\{-4\}$ дает интервал $(-5; 1)$.
Ответ: $x \in (-5; 1)$.