Номер 44, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} < 0;$

2) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} > 0;$

3) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \le 0;$

4) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \ge 0.$

Для решения всех четырех неравенств проведем общий анализ выражений, входящих в них, так как они имеют одинаковую структуру. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), а затем проанализируем знаки каждого множителя.

Область допустимых значений (ОДЗ)
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x^2 + 8x + 7 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y=x^2 + 8x + 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x$, не лежащих между корнями: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, \infty)$.
Это ОДЗ является общим для всех четырех заданий.

Анализ знаков множителей
a) Первый множитель: $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
Найдем его корни: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1=1, x_2=3$.
$f(x) = (x-1)(x-3)$. Это парабола с ветвями вверх.
- $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
- $f(x) < 0$ при $x \in (1, 3)$.
- $f(x) = 0$ при $x=1$ или $x=3$.

b) Второй множитель: $g(x) = \sqrt{x^2 + 8x + 7}$.
Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $g(x) \ge 0$ на всей ОДЗ.
- $g(x) = 0$ при $x^2 + 8x + 7 = 0$, то есть при $x=-7$ или $x=-1$.
- $g(x) > 0$ при $x^2 + 8x + 7 > 0$, то есть при $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$.

Теперь, используя этот анализ, решим каждое неравенство.

1) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} < 0$
Произведение двух множителей отрицательно. Поскольку $\sqrt{x^2 + 8x + 7} \ge 0$, это неравенство может выполняться только если $\sqrt{x^2 + 8x + 7} > 0$ и $x^2 - 4x + 3 < 0$.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 < 0 \\ x^2 + 8x + 7 > 0 \end{cases}$
Из нашего анализа:
$x^2 - 4x + 3 < 0 \implies x \in (1, 3)$.
$x^2 + 8x + 7 > 0 \implies x \in (-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$.
Найдем пересечение этих множеств: $(1, 3) \cap ((-\infty, -7) \cup (-1, \infty))$.
Интервал $(1, 3)$ целиком содержится в $(-1, \infty)$, поэтому пересечением является сам интервал $(1, 3)$.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

2) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} > 0$
Произведение положительно. Поскольку $\sqrt{x^2 + 8x + 7} \ge 0$, это неравенство может выполняться только если оба множителя строго положительны.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 + 8x + 7 > 0 \end{cases}$
Из нашего анализа:
$x^2 - 4x + 3 > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
$x^2 + 8x + 7 > 0 \implies x \in (-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$.
Найдем пересечение множеств: $((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) \cap ((-\infty, -7) \cup (-1, \infty))$.
Пересечение $(-\infty, 1)$ с $(-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$ дает $(-\infty, -7) \cup (-1, 1)$.
Пересечение $(3, \infty)$ с $(-\infty, -7) \cup (-1, \infty)$ дает $(3, \infty)$.
Объединяя результаты, получаем: $(-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (3, \infty)$.

3) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \le 0$
Это неравенство выполняется в двух случаях:
а) Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю (и выражение определено).
$x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x=1, x=3$. Оба значения входят в ОДЗ.
$\sqrt{x^2 + 8x + 7} = 0 \implies x=-7, x=-1$.
Таким образом, $x \in \{-7, -1, 1, 3\}$ являются решениями.
б) Произведение строго меньше нуля. Из пункта 1) мы знаем, что решение этого неравенства $x \in (1, 3)$.
Объединяя решения из а) и б), получаем: $\{-7, -1, 1, 3\} \cup (1, 3) = \{-7, -1\} \cup [1, 3]$.
Ответ: $x \in \{-7, -1\} \cup [1, 3]$.

4) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x^2 + 8x + 7} \ge 0$
Это неравенство выполняется в двух случаях:
а) Произведение равно нулю. Из пункта 3) мы знаем, что это происходит при $x \in \{-7, -1, 1, 3\}$.
б) Произведение строго больше нуля. Из пункта 2) мы знаем, что решение этого неравенства $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (3, \infty)$.
Объединяя решения из а) и б), получаем:
$\{-7, -1, 1, 3\} \cup ((-\infty, -7) \cup (-1, 1) \cup (3, \infty)) = (-\infty, -7] \cup [-1, 1] \cup [3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, 1] \cup [3, \infty)$.