Номер 43, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Решите неравенство:

1) $\frac{8}{x} - \frac{5}{x+3} > 3;$

2) $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \le \frac{5}{12x};$

3) $\frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x^2-25} \ge 0;$

4) $\frac{4x+4}{x^2+2x-8} < \frac{1}{2};$

5) $\frac{4x}{x^2-6x+5} + \frac{3}{x-1} \ge \frac{2}{x-5}.$

1) Решение неравенства $\frac{8}{x} - \frac{5}{x+3} > 3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{8}{x} - \frac{5}{x+3} - 3 > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{8(x+3) - 5x - 3x(x+3)}{x(x+3)} > 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8x + 24 - 5x - 3x^2 - 9x}{x(x+3)} > 0$

$\frac{-3x^2 - 6x + 24}{x(x+3)} > 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный, и разделим числитель на 3:

$\frac{3x^2 + 6x - 24}{x(x+3)} < 0 \implies \frac{x^2 + 2x - 8}{x(x+3)} < 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ — это $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

$\frac{(x+4)(x-2)}{x(x+3)} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -4, x = 2$. Нули знаменателя: $x = 0, x = -3$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знак выражения в каждом интервале.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -4): +$; $(-4; -3): -$; $(-3; 0): +$; $(0; 2): -$; $(2; +\infty): +$.

Поскольку знак неравенства "<", выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (0; 2)$.

2) Решение неравенства $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \le \frac{5}{12x}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} - \frac{5}{12x} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$, $x \neq -1$, $x \neq 0$.

Приведем к общему знаменателю $12x(x-1)(x+1)$:

$\frac{12x(x+1) + 12x(x-1) - 5(x-1)(x+1)}{12x(x-1)(x+1)} \le 0$

Упростим числитель:

$\frac{12x^2 + 12x + 12x^2 - 12x - 5(x^2-1)}{12x(x-1)(x+1)} \le 0$

$\frac{24x^2 - 5x^2 + 5}{12x(x^2-1)} \le 0$

$\frac{19x^2 + 5}{12x(x-1)(x+1)} \le 0$

Числитель $19x^2 + 5$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство равносильно $12x(x-1)(x+1) < 0$ (знак строгий, так как числитель не равен нулю).

$x(x-1)(x+1) < 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x = -1, x = 0, x = 1$.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -1): -$; $(-1; 0): +$; $(0; 1): -$; $(1; +\infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "минус".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

3) Решение неравенства $\frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x^2-25} \ge 0$.

Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{(x-5)(x+5)} \ge 0$

$\frac{2(x^2-25) - (x^2-1)}{(x^2-1)(x^2-25)} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{2x^2 - 50 - x^2 + 1}{(x^2-1)(x^2-25)} \ge 0$

$\frac{x^2 - 49}{(x^2-1)(x^2-25)} \ge 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель:

$\frac{(x-7)(x+7)}{(x-1)(x+1)(x-5)(x+5)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя (включенные точки): $x = \pm 7$. Нули знаменателя (выколотые точки): $x = \pm 1, x = \pm 5$.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -7]: +$; $[-7; -5): -$; $(-5; -1): +$; $(-1; 1): -$; $(1; 5): +$; $(5; 7]: -$; $[7; +\infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup (-5, -1) \cup (1, 5) \cup [7, +\infty)$.

4) Решение неравенства $\frac{4x+4}{x^2+2x-8} < \frac{1}{2}$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю. Знаменатель $x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.

$\frac{4(x+1)}{(x+4)(x-2)} - \frac{1}{2} < 0$

$\frac{2 \cdot 4(x+1) - 1(x+4)(x-2)}{2(x+4)(x-2)} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{8x + 8 - (x^2 + 2x - 8)}{2(x+4)(x-2)} < 0$

$\frac{-x^2 + 6x + 16}{2(x+4)(x-2)} < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2 - 6x - 16}{2(x+4)(x-2)} > 0$

Разложим числитель на множители. Корни $x^2 - 6x - 16 = 0$ — это $x_1 = 8, x_2 = -2$.

$\frac{(x-8)(x+2)}{2(x+4)(x-2)} > 0$

Решим методом интервалов. Нули (все выколотые): $-4, -2, 2, 8$.

Интервалы и знаки: $(-\infty; -4): +$; $(-4; -2): -$; $(-2; 2): +$; $(2; 8): -$; $(8; +\infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 2) \cup (8; +\infty)$.

5) Решение неравенства $\frac{4x}{x^2-6x+5} + \frac{3}{x-1} \ge \frac{2}{x-5}$.

Знаменатель $x^2-6x+5 = (x-1)(x-5)$. Перенесем все члены влево:

$\frac{4x}{(x-1)(x-5)} + \frac{3}{x-1} - \frac{2}{x-5} \ge 0$

ОДЗ: $x \neq 1, x \neq 5$. Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-5)$:

$\frac{4x + 3(x-5) - 2(x-1)}{(x-1)(x-5)} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{4x + 3x - 15 - 2x + 2}{(x-1)(x-5)} \ge 0$

$\frac{5x - 13}{(x-1)(x-5)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нуль числителя (включенная точка): $5x-13=0 \implies x = \frac{13}{5}$. Нули знаменателя (выколотые точки): $x=1, x=5$.

Интервалы и знаки: $(-\infty; 1): -$; $(1; \frac{13}{5}]: +$; $[\frac{13}{5}; 5): -$; $(5; +\infty): +$.

Выбираем интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (1; \frac{13}{5}] \cup (5; +\infty)$.