Номер 42, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите неравенство:

1) $\frac{5x - 8}{x + 1} \le \frac{x - 4}{x + 1}$;

2) $\frac{2x}{3x + 5} \le 2$;

3) $\frac{x^2 + 7x}{x + 3} \le \frac{8}{x + 3}$;

4) $\frac{x^2 - x}{x + 3} \ge 1$.

1)

Исходное неравенство: $\frac{5x - 8}{x + 1} \le \frac{x - 4}{x + 1}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{5x - 8}{x + 1} - \frac{x - 4}{x + 1} \le 0$

Так как знаменатели одинаковы, объединим числители:

$\frac{(5x - 8) - (x - 4)}{x + 1} \le 0$

$\frac{5x - 8 - x + 4}{x + 1} \le 0$

$\frac{4x - 4}{x + 1} \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $4x - 4 = 0 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение.

Корень знаменателя: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Эта точка всегда исключается из решения (выколотая точка), так как она обращает знаменатель в ноль.

Отметим точки $x = -1$ и $x = 1$ на числовой оси и определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов:

• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2)-4}{-2+1} = \frac{-12}{-1} = 12 > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)-4}{0+1} = \frac{-4}{1} = -4 < 0$. Знак "-".
• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{4(2)-4}{2+1} = \frac{4}{3} > 0$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где знак "-", включая корень числителя. Таким образом, решение: $x \in (-1, 1]$.

Ответ: $(-1; 1]$.

2)

Исходное неравенство: $\frac{2x}{3x + 5} \le 2$.

ОДЗ: $3x + 5 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq -5 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{3}$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x}{3x + 5} - 2 \le 0$

$\frac{2x - 2(3x + 5)}{3x + 5} \le 0$

$\frac{2x - 6x - 10}{3x + 5} \le 0$

$\frac{-4x - 10}{3x + 5} \le 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{4x + 10}{3x + 5} \ge 0$

Решим методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корень числителя: $4x + 10 = 0 \Rightarrow 4x = -10 \Rightarrow x = -2.5$. Точка включается в решение.

Корень знаменателя: $3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$. Точка исключается.

Отметим точки $x = -2.5$ и $x = -\frac{5}{3}$ на числовой оси. Заметим, что $-2.5 < -\frac{5}{3}$.

• При $x < -2.5$ (например, $x=-3$): $\frac{4(-3)+10}{3(-3)+5} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} > 0$. Знак "+".
• При $-2.5 < x < -\frac{5}{3}$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2)+10}{3(-2)+5} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$. Знак "-".
• При $x > -\frac{5}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)+10}{3(0)+5} = \frac{10}{5} = 2 > 0$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю. Это объединение интервалов, где стоит знак "+", включая корень числителя. Решение: $x \in (-\infty, -2.5] \cup (-\frac{5}{3}, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2.5] \cup (-\frac{5}{3}; +\infty)$.

3)

Исходное неравенство: $\frac{x^2 + 7x}{x + 3} \le \frac{8}{x + 3}$.

ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x^2 + 7x}{x + 3} - \frac{8}{x + 3} \le 0$

$\frac{x^2 + 7x - 8}{x + 3} \le 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя решим квадратное уравнение $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение -8. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$. Эти точки включаются в решение.

Корень знаменателя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка исключается.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x - 1)(x + 8)}{x + 3} \le 0$.

Отметим точки $x = -8$, $x = -3$ и $x = 1$ на числовой оси и определим знаки:

• При $x < -8$ (например, $x=-10$): $\frac{(-)(-)_}{(-)} < 0$. Знак "-".
• При $-8 < x < -3$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Знак "+".
• При $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Знак "-".
• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Решение: $x \in (-\infty, -8] \cup (-3, 1]$.

Ответ: $(-\infty; -8] \cup (-3; 1]$.

4)

Исходное неравенство: $\frac{x^2 - x}{x + 3} \ge 1$.

ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - x}{x + 3} - 1 \ge 0$

$\frac{x^2 - x - (x + 3)}{x + 3} \ge 0$

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 3} \ge 0$

Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Эти точки включаются в решение.

Корень знаменателя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка исключается.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x - 3)(x + 1)}{x + 3} \ge 0$.

Отметим точки $x = -3$, $x = -1$ и $x = 3$ на числовой оси и определим знаки:

• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)_}{(-)} < 0$. Знак "-".
• При $-3 < x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Знак "-".
• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю. Решение: $x \in (-3, -1] \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $(-3; -1] \cup [3; +\infty)$.