Номер 49, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Функция задана формулой $g(x) = x^{25}$. Сравните:

1) $g(6{,}2)$ и $g(7{,}3)$;

2) $g(-0{,}13)$ и $g(-0{,}17)$;

3) $g(-7{,}5)$ и $g(7{,}5)$.

Дана функция $g(x) = x^{25}$. Чтобы сравнить значения этой функции при различных значениях аргумента, необходимо проанализировать ее свойства.

Функция $g(x) = x^{25}$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем степени (25 — нечетное число). Основное свойство таких функций заключается в том, что они являются строго возрастающими на всей своей области определения (на всей числовой прямой). Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то и $g(x_1) < g(x_2)$. То есть, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

1) g(6,2) и g(7,3)

Сначала сравним аргументы функции: $6,2$ и $7,3$.

Очевидно, что $6,2 < 7,3$.

Поскольку функция $g(x) = x^{25}$ является возрастающей, то из неравенства $6,2 < 7,3$ следует, что $g(6,2) < g(7,3)$.

Ответ: $g(6,2) < g(7,3)$.

2) g(-0,13) и g(-0,17)

Сравним аргументы функции: $-0,13$ и $-0,17$.

При сравнении отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $|-0,13| < |-0,17|$, то $-0,13 > -0,17$, или, что то же самое, $-0,17 < -0,13$.

Так как функция $g(x) = x^{25}$ возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $g(-0,17) < g(-0,13)$.

Ответ: $g(-0,13) > g(-0,17)$.

3) g(-7,5) и g(7,5)

Сравним аргументы функции: $-7,5$ и $7,5$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-7,5 < 7,5$.

Используя свойство возрастания функции $g(x)$, получаем, что $g(-7,5) < g(7,5)$.

Другой способ — использовать свойство нечетности функции. Так как показатель степени 25 нечетный, функция $g(x)$ является нечетной, то есть $g(-x) = -g(x)$ для любого $x$.

При $x = 7,5$, имеем $g(-7,5) = -g(7,5)$.

Поскольку $7,5 > 0$, то $g(7,5) = (7,5)^{25} > 0$. Соответственно, $g(-7,5) = -g(7,5)$ будет отрицательным числом. Так как любое отрицательное число меньше положительного, то $g(-7,5) < g(7,5)$.

Ответ: $g(-7,5) < g(7,5)$.