Номер 52, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. Постройте график функции:

1) $y = x^3 + 1$;

2) $y = (x - 1)^3$;

3) $y = x^4 + 1$;

4) $y = -\frac{1}{2}x^3$.

1) $y = x^3 + 1$

Для построения графика функции $y = x^3 + 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. В качестве основы возьмем график функции $y = x^3$ (кубическая парабола).

1. Сначала построим график базовой функции $y = x^3$. Это кривая, симметричная относительно начала координат. Составим таблицу значений для нескольких контрольных точек:
Если $x = 0$, то $y = 0^3 = 0$ → точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = 1^3 = 1$ → точка (1; 1).
Если $x = -1$, то $y = (-1)^3 = -1$ → точка (-1; -1).
Если $x = 2$, то $y = 2^3 = 8$ → точка (2; 8).
Если $x = -2$, то $y = (-2)^3 = -8$ → точка (-2; -8).

2. График функции $y = x^3 + 1$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (OY) на 1 единицу вверх. Это означает, что ордината каждой точки графика увеличивается на 1, а абсцисса остается неизменной.

Найдем новые координаты контрольных точек:
(0; 0) → (0; 0 + 1) = (0; 1).
(1; 1) → (1; 1 + 1) = (1; 2).
(-1; -1) → (-1; -1 + 1) = (-1; 0).
(2; 8) → (2; 8 + 1) = (2; 9).
(-2; -8) → (-2; -8 + 1) = (-2; -7).

Соединив полученные точки плавной кривой, получим график функции $y = x^3 + 1$.

Ответ: График функции $y = x^3 + 1$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

2) $y = (x - 1)^3$

Для построения графика функции $y = (x - 1)^3$ снова используем график базовой функции $y = x^3$.

1. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола с контрольными точками (0; 0), (1; 1), (-1; -1), (2; 8), (-2; -8).

2. График функции $y = (x - 1)^3$ получается из графика $y = x^3$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (OX) на 1 единицу вправо. Это означает, что абсцисса каждой точки графика увеличивается на 1, а ордината остается неизменной.

Найдем новые координаты контрольных точек:
(0; 0) → (0 + 1; 0) = (1; 0).
(1; 1) → (1 + 1; 1) = (2; 1).
(-1; -1) → (-1 + 1; -1) = (0; -1).
(2; 8) → (2 + 1; 8) = (3; 8).
(-2; -8) → (-2 + 1; -8) = (-1; -8).

Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, сдвинутая на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

3) $y = x^4 + 1$

Для построения графика функции $y = x^4 + 1$ возьмем за основу график функции $y = x^4$.

1. Построим график базовой функции $y = x^4$. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси OY. Он похож на параболу $y=x^2$, но более "плоский" у вершины и круче поднимается при $|x| > 1$.
Контрольные точки для $y = x^4$:
$x = 0, y = 0^4 = 0$ → (0; 0).
$x = 1, y = 1^4 = 1$ → (1; 1).
$x = -1, y = (-1)^4 = 1$ → (-1; 1).
$x = 2, y = 2^4 = 16$ → (2; 16).
$x = -2, y = (-2)^4 = 16$ → (-2; 16).

2. График функции $y = x^4 + 1$ получается из графика $y = x^4$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (OY) на 1 единицу вверх.

Найдем новые координаты контрольных точек:
(0; 0) → (0; 0 + 1) = (0; 1).
(1; 1) → (1; 1 + 1) = (1; 2).
(-1; 1) → (-1; 1 + 1) = (-1; 2).
(2; 16) → (2; 16 + 1) = (2; 17).
(-2; 16) → (-2; 16 + 1) = (-2; 17).

Соединив точки, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = x^4 + 1$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси OY.

4) $y = -\frac{1}{2}x^3$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^3$ снова используем график базовой функции $y = x^3$.

1. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола с контрольными точками (0; 0), (1; 1), (-1; -1), (2; 8), (-2; -8).

2. Преобразование графика $y = x^3$ в график $y = -\frac{1}{2}x^3$ происходит в два этапа:
а) Знак "минус" перед функцией означает симметричное отражение графика $y = x^3$ относительно оси абсцисс (OX).
б) Коэффициент $\frac{1}{2}$ означает сжатие графика к оси абсцисс в 2 раза. То есть, для каждого значения $x$ значение $y$ будет в 2 раза меньше по модулю, чем у функции $y=-x^3$.

Можно объединить эти преобразования: ордината каждой точки графика $y = x^3$ умножается на коэффициент $-\frac{1}{2}$.
Найдем новые координаты контрольных точек:
(0; 0) → $(0; -\frac{1}{2} \cdot 0) = (0; 0)$.
(1; 1) → $(1; -\frac{1}{2} \cdot 1) = (1; -0.5)$.
(-1; -1) → $(-1; -\frac{1}{2} \cdot (-1)) = (-1; 0.5)$.
(2; 8) → $(2; -\frac{1}{2} \cdot 8) = (2; -4)$.
(-2; -8) → $(-2; -\frac{1}{2} \cdot (-8)) = (-2; 4)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график. Он будет проходить через начало координат, но в отличие от $y=x^3$, будет убывающим на всей области определения.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^3$ — это кубическая парабола $y = x^3$, отраженная симметрично относительно оси OX и сжатая к оси OX в 2 раза.