Номер 55, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Определите графически количество корней уравнения:

1) $x^4 = x + 5;$

2) $-x^5 = 5 - x.$

1) $x^4 = x + 5$

Для того чтобы графически определить количество корней данного уравнения, представим его в виде равенства двух функций: $y = x^4$ и $y = x + 5$. Количество точек пересечения графиков этих функций будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = x^4$. Это степенная функция с четным показателем. Ее график — парабола четвертой степени, симметричная относительно оси ординат (OY), с вершиной в начале координат (0, 0). Ветви параболы направлены вверх. График проходит через точки (1, 1) и (-1, 1).

2. Построим график функции $y = x + 5$. Это линейная функция, ее график — прямая. Прямая пересекает ось ординат (OY) в точке (0, 5) и ось абсцисс (OX) в точке (-5, 0).

3. Совместим графики на одной координатной плоскости. Прямая $y = x + 5$ проходит выше вершины параболы $y = x^4$.

Рассмотрим правую часть плоскости (при $x > 0$). Парабола $y = x^4$ растет значительно быстрее, чем прямая $y = x + 5$. Например, при $x = 1$, значение $y = x^4$ равно 1, а значение $y = x+5$ равно 6. При $x = 2$, значение $y = x^4$ равно 16, а значение $y = x+5$ равно 7. Так как в точке $x=1$ парабола находится ниже прямой, а в точке $x=2$ — выше, то на интервале $(1, 2)$ есть одна точка пересечения.

Рассмотрим левую часть плоскости (при $x < 0$). В силу симметрии параболы относительно оси OY и того, что прямая является возрастающей, ситуация будет аналогичной. Например, при $x = -1$, значение $y = x^4$ равно 1, а значение $y = x+5$ равно 4. При $x = -2$, значение $y = x^4$ равно 16, а значение $y = x+5$ равно 3. Так как в точке $x=-1$ парабола находится ниже прямой, а в точке $x=-2$ — выше, то на интервале $(-2, -1)$ также есть одна точка пересечения.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) $-x^5 = 5 - x$

Для графического решения представим уравнение в виде равенства двух функций: $y = -x^5$ и $y = 5 - x$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

1. Построим график функции $y = -x^5$. Это степенная функция с нечетным показателем, график которой симметричен относительно начала координат (0, 0). Функция является убывающей на всей области определения. График проходит через точки (0, 0), (1, -1) и (-1, 1).

2. Построим график функции $y = 5 - x$. Это линейная функция, ее график — прямая. Прямая является убывающей (угловой коэффициент равен -1), пересекает ось ординат (OY) в точке (0, 5) и ось абсцисс (OX) в точке (5, 0).

3. Совместим графики на одной координатной плоскости. Обе функции являются убывающими.

При $x=0$ значение функции $y=-x^5$ равно 0, а значение функции $y=5-x$ равно 5. То есть, в точке $x=0$ график прямой находится выше графика степенной функции.

При $x < 0$ (например, $x=-2$), функция $y = -x^5$ принимает большие положительные значения ($y = -(-2)^5 = 32$), в то время как прямая $y = 5 - x$ растет медленнее ($y = 5 - (-2) = 7$). Это означает, что для достаточно больших по модулю отрицательных значений $x$ график $y = -x^5$ будет находиться выше прямой. Так как при $x=0$ он был ниже, а при $x=-2$ стал выше, и обе функции непрерывны, то в области $x < 0$ существует одна точка пересечения.

При $x > 0$ функция $y = -x^5$ убывает гораздо быстрее, чем $y = 5 - x$. Поскольку при $x=0$ график $y=-x^5$ уже находится ниже прямой, и его скорость убывания больше, графики в этой области не пересекутся.

Следовательно, графики функций пересекаются только в одной точке.

Ответ: 1 корень.