Номер 53, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{10}$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[-2; -1];$

3) $[-1; 1];$

4) $[2; +\infty).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{10}$ на заданных промежутках, проанализируем её поведение. Это степенная функция с четным показателем степени, ее график симметричен относительно оси ординат. Производная функции $y' = 10x^9$. Критическая точка, где производная равна нулю, это $x = 0$. При $x < 0$ функция убывает ($y' < 0$), а при $x > 0$ — возрастает ($y' > 0$). В точке $x = 0$ функция имеет минимум.

1) На промежутке $[0; 2]$ функция $y = x^{10}$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^{10} = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^{10} = 1024$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1024.

2) На промежутке $[-2; -1]$ функция $y = x^{10}$ является убывающей (так как значения $x$ отрицательны). Следовательно, наибольшее значение достигается в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{10} = 1024$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{10} = 1$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 1024.

3) Промежуток $[-1; 1]$ содержит точку минимума функции $x=0$. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений нужно сравнить значения функции на концах промежутка и в точке минимума.
$y(-1) = (-1)^{10} = 1$.
$y(1) = 1^{10} = 1$.
$y(0) = 0^{10} = 0$.
Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение равно 0, а наибольшее равно 1.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

4) На промежутке $[2; +\infty)$ функция $y = x^{10}$ является возрастающей. Наименьшее значение достигается в левой границе промежутка.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 2^{10} = 1024$.
Поскольку промежуток неограничен справа и функция на нем возрастает, она может принимать сколь угодно большие значения. Таким образом, наибольшего значения на этом промежутке не существует.
Ответ: наименьшее значение 1024, наибольшего значения не существует.