Номер 58, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-7) > f(-1)$;

2) $f(-7) > f(1)$;

3) $f(-7) < f(-1)$;

4) $f(-7) < f(1)$?

Для ответа на вопрос проанализируем свойства степенной функции $y = f(x) = x^n$, где $n$ — натуральное число, в зависимости от чётности показателя степени $n$.

Если $n$ — чётное натуральное число (например, 2, 4, 6, ...):

• Функция является чётной, то есть $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$.
• График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• На промежутке $(-\infty, 0]$ функция строго убывает. Это означает, что для любых $x_1 < x_2 \leq 0$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
• На промежутке $[0, +\infty)$ функция строго возрастает.

Если $n$ — нечётное натуральное число (например, 1, 3, 5, ...):

• Функция является нечётной, то есть $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$.
• График функции симметричен относительно начала координат.
• Функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных условий.

1) $f(-7) > f(-1)$

Сравниваются значения функции в двух отрицательных точках: $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Очевидно, что $-7 < -1$.
Если $n$ — чётное число, то на промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает. Поэтому из неравенства $-7 < -1$ следует, что $f(-7) > f(-1)$. Это полностью совпадает с данным условием.
Если $n$ — нечётное число, то функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому из неравенства $-7 < -1$ следует, что $f(-7) < f(-1)$. Это противоречит данному условию.
Следовательно, показатель степени $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

2) $f(-7) > f(1)$

Сравниваются значения функции в точках $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.
Если $n$ — чётное число, то функция является чётной, поэтому $f(-7) = (-7)^n = 7^n$. Также $f(1) = 1^n = 1$. Так как $n$ — натуральное чётное число ($n \ge 2$), то $7^n$ всегда будет больше 1. Таким образом, $f(-7) > f(1)$. Это совпадает с данным условием.
Если $n$ — нечётное число, то $f(-7) = (-7)^n = -7^n$. Также $f(1) = 1^n = 1$. Так как $n$ — натуральное число, $7^n$ является положительным числом, а значит $-7^n$ — отрицательным. Любое отрицательное число меньше 1, поэтому $f(-7) < f(1)$. Это противоречит данному условию.
Следовательно, показатель степени $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

3) $f(-7) < f(-1)$

Сравниваются значения функции в двух отрицательных точках: $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Очевидно, что $-7 < -1$.
Если $n$ — чётное число, то на промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает. Поэтому из неравенства $-7 < -1$ следует, что $f(-7) > f(-1)$. Это противоречит данному условию.
Если $n$ — нечётное число, то функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому из неравенства $-7 < -1$ следует, что $f(-7) < f(-1)$. Это полностью совпадает с данным условием.
Следовательно, показатель степени $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.

4) $f(-7) < f(1)$

Сравниваются значения функции в точках $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.
Если $n$ — чётное число, то $f(-7) = (-7)^n = 7^n$ и $f(1) = 1^n = 1$. Так как $n \ge 2$, то $7^n > 1$, то есть $f(-7) > f(1)$. Это противоречит данному условию.
Если $n$ — нечётное число, то $f(-7) = (-7)^n = -7^n$. Также $f(1) = 1^n = 1$. Так как $n$ — натуральное число, $-7^n$ — отрицательное число. Очевидно, что любое отрицательное число меньше 1. Таким образом, $f(-7) < f(1)$. Это совпадает с данным условием.
Следовательно, показатель степени $n$ является нечётным числом.

Ответ: нечётным.