Номер 64, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Постройте график функции:

1) $y = x^{-3} + 1;$

2) $y = (x + 1)^{-3};$

3) $y = 4x^{-4}.$

Для построения графика функции $y = x^{-3} + 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = x^{-3}$, или $y = \frac{1}{x^3}$.

Свойства функции $y = \frac{1}{x^3}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
• График расположен в I и III координатных четвертях.
• Функция убывает на всей области определения.

График функции $y = x^{-3} + 1$ получается из графика функции $y = x^{-3}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх. При этом преобразовании:

• Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 1 вверх и становится $y=1$.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 + 1)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 2)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, 0)$.
• Центр симметрии графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, 1)$.

Таким образом, для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \frac{1}{x^3}$, а затем сдвинуть его на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции $y = x^{-3} + 1$ — это график функции $y = x^{-3}$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Вертикальная асимптота — $x=0$, горизонтальная асимптота — $y=1$.

Для построения графика функции $y = (x + 1)^{-3}$ также используем преобразование графика базовой функции $y = x^{-3}$, или $y = \frac{1}{x^3}$.

Свойства базовой функции $y = \frac{1}{x^3}$ описаны в предыдущем пункте.

График функции $y = (x + 1)^{-3}$ получается из графика функции $y = x^{-3}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 1 единицу влево. При этом преобразовании:

• Вертикальная асимптота $x=0$ смещается на 1 влево и становится $x=-1$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(0, 1)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-2, -1)$.
• Центр симметрии графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(-1, 0)$.

Таким образом, для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \frac{1}{x^3}$, а затем сдвинуть его на 1 единицу влево.

Ответ: График функции $y = (x + 1)^{-3}$ — это график функции $y = x^{-3}$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Вертикальная асимптота — $x=-1$, горизонтальная асимптота — $y=0$.

Для построения графика функции $y = 4x^{-4}$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = x^{-4}$, или $y = \frac{1}{x^4}$.

Свойства функции $y = \frac{1}{x^4}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$, так как $x^4 \ge 0$.
• Функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
• График расположен в I и II координатных четвертях.
• Функция возрастает на интервале $(-\infty; 0)$ и убывает на интервале $(0; +\infty)$.

График функции $y = 4x^{-4}$ получается из графика функции $y = x^{-4}$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 4 раза. При этом преобразовании:

• Вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$ остаются без изменений.
• Симметрия относительно оси $Oy$ сохраняется.
• Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, 4y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 4)$, а точка $(2, \frac{1}{16})$ — в точку $(2, \frac{4}{16}) = (2, \frac{1}{4})$.

Таким образом, для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \frac{1}{x^4}$, а затем растянуть его от оси $Ox$ в 4 раза.

Ответ: График функции $y = 4x^{-4}$ — это график функции $y = x^{-4}$, растянутый в 4 раза вдоль оси ординат. Асимптоты ($x=0$ и $y=0$) и симметрия относительно оси $Oy$ сохраняются.