Номер 68, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-10) < f(-9);$

2) $f(-10) > f(-9);$

3) $f(10) < f(-9);$

4) $f(10) < f(9)?$

Функция задана формулой $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число. Для ответа на вопрос проанализируем поведение функции в зависимости от чётности $n$.

1) $f(-10) < f(-9)$;

Подставим значения аргументов в функцию. Неравенство примет вид:

$(-10)^{-n} < (-9)^{-n}$

$\frac{1}{(-10)^n} < \frac{1}{(-9)^n}$

Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-10)^n = 10^n$ и $(-9)^n = 9^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$. Так как $n$ — натуральное число и $10 > 9$, то $10^n > 9^n$. Для положительных чисел, чем больше знаменатель, тем меньше дробь, поэтому неравенство $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$ является верным.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-10)^n = -10^n$ и $(-9)^n = -9^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{-10^n} < \frac{1}{-9^n}$, что равносильно $-\frac{1}{10^n} < -\frac{1}{9^n}$. Умножив обе части на $-1$, мы изменим знак неравенства: $\frac{1}{10^n} > \frac{1}{9^n}$. Это неравенство неверно, так как $10^n > 9^n$.

Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ является чётным числом.

Ответ: Чётным.

2) $f(-10) > f(-9)$;

Подставим значения аргументов в функцию. Неравенство примет вид:

$(-10)^{-n} > (-9)^{-n}$

$\frac{1}{(-10)^n} > \frac{1}{(-9)^n}$

Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то неравенство принимает вид $\frac{1}{10^n} > \frac{1}{9^n}$. Это неверно, так как $10^n > 9^n$.
• Если $n$ — нечётное число, то неравенство принимает вид $-\frac{1}{10^n} > -\frac{1}{9^n}$. Умножив обе части на $-1$, получаем $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$. Это неравенство верно, так как $10^n > 9^n$.

Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ является нечётным числом.

Ответ: Нечётным.

3) $f(10) < f(-9)$;

Подставим значения аргументов в функцию. Неравенство примет вид:

$10^{-n} < (-9)^{-n}$

$\frac{1}{10^n} < \frac{1}{(-9)^n}$

Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-9)^n = 9^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$. Это неравенство верно, так как $10^n > 9^n$.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-9)^n = -9^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{-9^n}$, или $\frac{1}{10^n} < -\frac{1}{9^n}$. Это неверно, так как положительное число в левой части не может быть меньше отрицательного числа в правой.

Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ является чётным числом.

Ответ: Чётным.

4) $f(10) < f(9)$;

Подставим значения аргументов в функцию. Неравенство примет вид:

$10^{-n} < 9^{-n}$

$\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$

Так как $n$ — натуральное число, то $10^n$ и $9^n$ являются положительными числами. Поскольку $10 > 9$, то $10^n > 9^n$ для любого натурального $n$. При сравнении дробей с одинаковыми числителями (равными 1), та дробь меньше, у которой знаменатель больше.

Следовательно, неравенство $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$ справедливо для любого натурального числа $n$, как чётного, так и нечётного.

Поэтому на основании этого условия невозможно однозначно определить чётность числа $n$.

Ответ: Число $n$ может быть как чётным, так и нечётным.