Номер 75, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Сравните:

1) $\sqrt[5]{6,4}$ и $\sqrt[5]{7,2}$;

2) $\sqrt[9]{-19}$ и $\sqrt[9]{-23}$;

3) 4 и $\sqrt[3]{62}$;

4) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[8]{50}$;

5) $3\sqrt[3]{3}$ и $2\sqrt[3]{10}$.

1) Сравнить $\sqrt[5]{6,4}$ и $\sqrt[5]{7,2}$

Для сравнения двух корней с одинаковым показателем, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y = \sqrt[n]{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$.

Сравним подкоренные выражения: $6,4$ и $7,2$.

Поскольку $6,4 < 7,2$, то и $\sqrt[5]{6,4} < \sqrt[5]{7,2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{6,4} < \sqrt[5]{7,2}$.

2) Сравнить $\sqrt[9]{-19}$ и $\sqrt[9]{-23}$

Показатель корня $n=9$ является нечетным числом. Функция $y = \sqrt[9]{x}$ является возрастающей на всей области определения (для всех действительных чисел). Поэтому, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Сравним подкоренные выражения: $-19$ и $-23$.

Так как $-19 > -23$, то из этого следует, что $\sqrt[9]{-19} > \sqrt[9]{-23}$.

Ответ: $\sqrt[9]{-19} > \sqrt[9]{-23}$.

3) Сравнить $4$ и $\sqrt[3]{62}$

Чтобы сравнить число и корень, представим число в виде корня той же степени, что и у второго числа.

Представим число $4$ в виде кубического корня: $4 = \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{64}$.

Теперь сравним два корня: $\sqrt[3]{64}$ и $\sqrt[3]{62}$.

Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $64 > 62$.

Следовательно, $\sqrt[3]{64} > \sqrt[3]{62}$, а значит $4 > \sqrt[3]{62}$.

Ответ: $4 > \sqrt[3]{62}$.

4) Сравнить $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[8]{50}$

Для сравнения корней с разными показателями, приведем их к общему (наименьшему общему кратному) показателю. Наименьшее общее кратное для показателей $4$ и $8$ равно $8$.

Приведем корень $\sqrt[4]{7}$ к показателю $8$, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$:

$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[8]{49}$.

Теперь сравним $\sqrt[8]{49}$ и $\sqrt[8]{50}$.

Поскольку показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $49 < 50$.

Таким образом, $\sqrt[8]{49} < \sqrt[8]{50}$, что означает $\sqrt[4]{7} < \sqrt[8]{50}$.

Ответ: $\sqrt[4]{7} < \sqrt[8]{50}$.

5) Сравнить $3\sqrt[3]{3}$ и $2\sqrt[3]{10}$

Чтобы сравнить эти выражения, внесем множители перед корнем под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение.

Преобразуем первое выражение: $3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = \sqrt[3]{81}$.

Преобразуем второе выражение: $2\sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10} = \sqrt[3]{8 \cdot 10} = \sqrt[3]{80}$.

Теперь сравним полученные корни: $\sqrt[3]{81}$ и $\sqrt[3]{80}$.

Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $81 > 80$.

Следовательно, $\sqrt[3]{81} > \sqrt[3]{80}$, а значит $3\sqrt[3]{3} > 2\sqrt[3]{10}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{3} > 2\sqrt[3]{10}$.