Номер 77, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Решите уравнение:

1) $\sqrt[5]{x} = \frac{3}{2};$

2) $\sqrt[4]{x} - 4 = 0;$

3) $\sqrt[4]{x} + 3 = 0;$

4) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{x} + 3 = 0;$

5) $\sqrt[6]{3x - 2} = 0;$

6) $\sqrt[6]{3x - 2} = 2.$

1) $\sqrt[5]{x} = \frac{3}{2}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в пятую степень. Это допустимо, так как корень нечетной степени определен для любых действительных чисел.
$(\sqrt[5]{x})^5 = (\frac{3}{2})^5$
$x = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32}$
Выделим целую часть дроби: $x = 7 \frac{19}{32}$.

Ответ: $7 \frac{19}{32}$.

2) $\sqrt[4]{x} - 4 = 0$

Перенесем 4 в правую часть уравнения: $\sqrt[4]{x} = 4$.
Так как корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а значение корня также должно быть неотрицательным, что выполняется ($4 > 0$). Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x})^4 = 4^4$
$x = 256$.
Полученное значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $256$.

3) $\sqrt[4]{x} + 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения: $\sqrt[4]{x} = -3$.
Арифметический корень четной степени (в данном случае 4-й) по определению не может быть отрицательным числом. Левая часть уравнения $\sqrt[4]{x}$ всегда неотрицательна ($\sqrt[4]{x} \ge 0$) для любого допустимого $x$, а правая часть равна -3. Следовательно, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

4) $\frac{1}{3}\sqrt[3]{x} + 3 = 0$

Сначала изолируем радикал. Перенесем 3 в правую часть: $\frac{1}{3}\sqrt[3]{x} = -3$.
Умножим обе части уравнения на 3: $\sqrt[3]{x} = -9$.
Корень нечетной степени (3-й) может быть отрицательным. Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{x})^3 = (-9)^3$
$x = -729$.

Ответ: $-729$.

5) $\sqrt[6]{3x-2} = 0$

Корень четной степени (6-й) равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю. Также необходимо учесть область допустимых значений: $3x-2 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$.
Приравняем подкоренное выражение к нулю:
$3x-2 = 0$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$.
Найденное значение $x = \frac{2}{3}$ удовлетворяет области допустимых значений.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

6) $\sqrt[6]{3x-2} = 2$

Так как корень четной степени (6-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x-2 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{2}{3}$. Значение в правой части (2) положительно, что допустимо. Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[6]{3x-2})^6 = 2^6$
$3x-2 = 64$
$3x = 64 + 2$
$3x = 66$
$x = \frac{66}{3}$
$x = 22$.
Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x \ge \frac{2}{3}$. Так как $22 > \frac{2}{3}$, решение является действительным.

Ответ: $22$.