Номер 76, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Решите уравнение:

1) $x^5 = -25$;

2) $x^6 = \frac{1}{729}$;

3) $x^6 = -64$;

4) $(x+1)^4 = 16$;

5) $2x^6 - 36 = 0$;

6) $(x^2+x)^5 = 32$.

1) $x^5 = -25$
Для решения этого уравнения необходимо извлечь корень пятой степени из обеих частей. Так как степень корня нечетная (5), корень из отрицательного числа существует и является единственным действительным корнем.
$x = \sqrt[5]{-25}$
Знак минус можно вынести из-под корня нечетной степени:
$x = -\sqrt[5]{25}$
Ответ: $-\sqrt[5]{25}$.

2) $x^6 = \frac{1}{729}$
В данном случае показатель степени четный (6), а правая часть уравнения положительна. Это означает, что уравнение будет иметь два действительных корня, которые являются противоположными числами.
$x = \pm\sqrt[6]{\frac{1}{729}}$
Найдем значение корня: $\sqrt[6]{729} = 3$, так как $3^6 = 729$.
Следовательно:
$x = \pm\frac{1}{3}$
Ответ: $\pm\frac{1}{3}$.

3) $x^6 = -64$
В левой части уравнения стоит переменная в четной степени ($x^6$). Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат, то есть $x^6 \ge 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-64$).
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

4) $(x + 1)^4 = 16$
Это уравнение вида $y^4=16$, где $y = x+1$. Так как степень четная (4), а правая часть положительна, то $y$ может принимать два значения.
$x+1 = \sqrt[4]{16}$ или $x+1 = -\sqrt[4]{16}$
Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Рассмотрим оба случая:
1) $x + 1 = 2 \implies x = 2 - 1 \implies x = 1$
2) $x + 1 = -2 \implies x = -2 - 1 \implies x = -3$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-3; 1$.

5) $2x^6 - 36 = 0$
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $x^6$.
$2x^6 = 36$
Разделим обе части на 2:
$x^6 = 18$
Так как показатель степени четный (6), а правая часть положительна, уравнение имеет два противоположных корня.
$x = \pm\sqrt[6]{18}$
Ответ: $\pm\sqrt[6]{18}$.

6) $(x^2 + x)^5 = 32$
Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения. Так как степень нечетная (5), то решение для выражения в скобках будет единственным.
$x^2 + x = \sqrt[5]{32}$
Поскольку $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
Уравнение сводится к квадратному:
$x^2 + x = 2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $-2$ и $1$.
$x_1 = -2$, $x_2 = 1$
Можно также решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
Ответ: $-2; 1$.