Номер 72, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[6]{x} - 8;$

2) $y = 9 - \sqrt[10]{x};$

3) $y = \sqrt[3]{x} - 6.$

1) $y = \sqrt[6]{x} - 8$

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$.

Функция $g(x) = \sqrt[6]{x}$ представляет собой корень четной степени. Такой корень определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$. Значение корня четной степени также всегда неотрицательно. Следовательно, область значений для функции $g(x) = \sqrt[6]{x}$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Запишем это в виде неравенства: $\sqrt[6]{x} \ge 0$.

Исходная функция $y = \sqrt[6]{x} - 8$ получена из функции $g(x) = \sqrt[6]{x}$ вычитанием числа 8. Чтобы найти ее область значений, вычтем 8 из обеих частей неравенства:

$\sqrt[6]{x} - 8 \ge 0 - 8$

$y \ge -8$

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -8.

Ответ: $E(y) = [-8; +\infty)$.

2) $y = 9 - \sqrt[10]{x}$

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt[10]{x}$. Это корень четной (10-й) степени, поэтому его значение всегда неотрицательно: $\sqrt[10]{x} \ge 0$.

Умножим это неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\sqrt[10]{x} \le 0$

Теперь прибавим 9 к обеим частям неравенства, чтобы получить исходную функцию $y = 9 - \sqrt[10]{x}$:

$9 - \sqrt[10]{x} \le 9 + 0$

$y \le 9$

Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 9.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 9]$.

3) $y = \sqrt[3]{x} - 6$

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt[3]{x}$. Это корень нечетной (3-й) степени. Корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Область определения и область значений функции $g(x) = \sqrt[3]{x}$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Исходная функция $y = \sqrt[3]{x} - 6$ получена сдвигом графика функции $g(x) = \sqrt[3]{x}$ на 6 единиц вниз. Такой сдвиг не изменяет область значений, которая охватывает все действительные числа.

Для любого желаемого значения $y_0$ мы можем найти соответствующее значение $x$:

$y_0 = \sqrt[3]{x} - 6$

$\sqrt[3]{x} = y_0 + 6$

$x = (y_0 + 6)^3$

Так как для любого $y_0$ существует $x$, то область значений — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.