Номер 66, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = 4 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = -x^{-4}, \\ y = -\sqrt{x + 3}. \end{cases}$

Для определения количества решений системы уравнений $ \begin{cases} y = x^{-3} \\ y = 4 - x \end{cases} $ построим в одной системе координат графики функций $y = x^{-3}$ (то же самое, что $y = \frac{1}{x^3}$) и $y = 4 - x$.

График функции $y = \frac{1}{x^3}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальной асимптотой.

График функции $y = 4 - x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

Проанализируем взаимное расположение графиков:

• При $x < 0$ (третья четверть), значения функции $y = \frac{1}{x^3}$ отрицательны. Значения функции $y = 4 - x$ положительны (так как если $x < 0$, то $-x > 0$, и $4 - x > 4$). Следовательно, в этой области графики не пересекаются.
• При $x > 0$ (первая четверть), обе функции положительны. Ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x^3}$ убывает от $+\infty$ до $0$. Прямая $y = 4 - x$ также убывает. Сравним значения функций в некоторых точках. При $x$, стремящемся к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{x^3}$ стремится к $+\infty$, а значение $y = 4 - x$ стремится к $4$. Это означает, что вблизи оси Oy гипербола находится выше прямой. При $x=1$ имеем $y = 1^{-3} = 1$ для гиперболы и $y = 4 - 1 = 3$ для прямой; прямая выше гиперболы. Так как обе функции непрерывны при $x>0$, между $0$ и $1$ есть точка пересечения. При $x=4$ имеем $y = 4^{-3} = \frac{1}{64}$ для гиперболы и $y = 4 - 4 = 0$ для прямой; гипербола снова выше прямой. Значит, между $1$ и $4$ есть вторая точка пересечения. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

Для определения количества решений системы уравнений $ \begin{cases} y = -x^{-4} \\ y = -\sqrt{x} + 3 \end{cases} $ построим в одной системе координат графики функций $y = -x^{-4}$ (то же самое, что $y = -\frac{1}{x^4}$) и $y = -\sqrt{x} + 3$.

График функции $y = -\frac{1}{x^4}$ расположен полностью ниже оси Ox (в третьей и четвертой координатных четвертях), так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$. График симметричен относительно оси Oy. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальной асимптотой.

График функции $y = -\sqrt{x} + 3$ определён только при $x \ge 0$. Он начинается в точке $(0, 3)$, убывает и пересекает ось Ox в точке $(9, 0)$, так как $-\sqrt{x} + 3 = 0 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.

Поскольку область определения функции $y = -\sqrt{x} + 3$ — это $x \ge 0$, пересечение возможно только с правой ветвью графика $y = -\frac{1}{x^4}$ (при $x > 0$).

• На интервале $(0, 9]$, значения функции $y = -\sqrt{x} + 3$ неотрицательны ($y \ge 0$), в то время как значения функции $y = -\frac{1}{x^4}$ строго отрицательны. Пересечений на этом интервале нет.
• На интервале $(9, +\infty)$, обе функции принимают отрицательные значения. Функция $y = -\sqrt{x} + 3$ монотонно убывает до $-\infty$. Функция $y = -\frac{1}{x^4}$ монотонно возрастает, приближаясь к $0$. Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Поскольку при $x=9$ график $y = -\sqrt{x} + 3$ находится на оси Ox ($y=0$), а график $y = -\frac{1}{x^4}$ находится ниже ($y = -1/9^4 < 0$), а при $x \to +\infty$ он уходит в $-\infty$ и оказывается ниже графика $y = -\frac{1}{x^4}$ (который стремится к 0), то они обязательно пересекутся ровно один раз.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.