Номер 69, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Найдите значение корня:

1) $\sqrt[3]{125}$;

2) $\sqrt[6]{0,000064}$;

3) $\sqrt[7]{-128}$;

4) $\sqrt[3]{15\frac{5}{8}}$;

5) $-2\sqrt[7]{-0,0000128}$.

1) Чтобы найти значение корня $\sqrt[3]{125}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень даст 125. Таким числом является 5, так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Следовательно, $\sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: 5

2) Чтобы вычислить $\sqrt[6]{0,000064}$, представим подкоренное выражение в виде степени. Десятичную дробь 0,000064 можно записать как $64 \cdot 10^{-6}$. Мы знаем, что $64 = 2^6$. Тогда выражение примет вид: $\sqrt[6]{2^6 \cdot 10^{-6}}$. Используя свойство корня $(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})$, а также то, что $10^{-6} = (10^{-1})^6$, получим: $\sqrt[6]{2^6 \cdot (10^{-1})^6} = \sqrt[6]{(2 \cdot 10^{-1})^6} = 2 \cdot 10^{-1} = 0,2$. Проверка: $0,2^6 = 0,000064$.
Ответ: 0,2

3) Требуется найти значение корня $\sqrt[7]{-128}$. Поскольку показатель корня (7) является нечетным числом, корень из отрицательного числа существует и будет отрицательным. Нужно найти число, которое в седьмой степени равно -128. Мы знаем, что $2^7 = 128$. Следовательно, $(-2)^7 = -128$. Таким образом, $\sqrt[7]{-128} = -2$.
Ответ: -2

4) Для вычисления $\sqrt[3]{15\frac{5}{8}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. $15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{120 + 5}{8} = \frac{125}{8}$. Теперь найдем корень из этой дроби: $\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$. Используем свойство корня из дроби $(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})$: $\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{5}{2}$, так как $5^3 = 125$ и $2^3 = 8$. Результат можно записать в виде десятичной дроби: $\frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5

5) Найдем значение выражения $-2\sqrt[7]{-0,0000128}$. Сначала вычислим значение корня $\sqrt[7]{-0,0000128}$. Показатель корня (7) нечетный, поэтому корень из отрицательного числа будет отрицательным. Представим подкоренное выражение: $-0,0000128 = -128 \cdot 10^{-7}$. Мы знаем, что $128 = 2^7$. Тогда $\sqrt[7]{-0,0000128} = \sqrt[7]{-128 \cdot 10^{-7}} = \sqrt[7]{(-2)^7 \cdot (10^{-1})^7} = \sqrt[7]{(-2 \cdot 10^{-1})^7} = -2 \cdot 10^{-1} = -0,2$. Теперь умножим полученное значение на коэффициент -2: $-2 \cdot (-0,2) = 0,4$.
Ответ: 0,4