Номер 65, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-4}$ на промежутке:

1) $[\frac{1}{5}; 2]$;

2) $[-1; -\frac{1}{2}]$;

3) $(-\infty; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^{-4}$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение. Функция может быть записана как $y = \frac{1}{x^4}$.

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания:

$y' = (x^{-4})' = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$

1. При $x > 0$, $x^5 > 0$, следовательно, $y' < 0$. Функция убывает на $(0, +\infty)$.

2. При $x < 0$, $x^5 < 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $[\frac{1}{5}; 2]$.

Этот промежуток находится в области, где $x > 0$, поэтому функция на нем убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается в левой точке промежутка, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{1}{5}) = (\frac{1}{5})^{-4} = 5^4 = 625$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: наибольшее значение равно 625, наименьшее значение равно $\frac{1}{16}$.

2) На промежутке $[-1; -\frac{1}{2}]$.

Этот промежуток находится в области, где $x < 0$, поэтому функция на нем возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^{-4} = \frac{1}{(-1)^4} = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{-4} = (-2)^4 = 16$.

Ответ: наибольшее значение равно 16, наименьшее значение равно 1.

3) На промежутке $(-\infty; -2]$.

Этот промежуток находится в области, где $x < 0$, поэтому функция на нем возрастает. Следовательно, наибольшее значение достигается в самой правой точке промежутка, то есть при $x=-2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$.

Чтобы определить, есть ли наименьшее значение, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$:

$\lim_{x\to-\infty} y(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x^4} = 0$.

Функция приближается к 0, но никогда не достигает этого значения, так как $y = \frac{1}{x^4} > 0$ для всех $x$ из области определения. Таким образом, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{1}{16}$, наименьшего значения не существует.