Номер 61, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Дана функция $f(x) = x^{-11}$. Сравните:

1) $f(0,2)$ и $f(-10)$;

2) $f(14)$ и $f(12)$;

3) $f(-23)$ и $f(-34)$.

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-11}$. Эту функцию можно записать в виде дроби: $f(x) = \frac{1}{x^{11}}$.

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.
• Четность/нечетность: Поскольку показатель степени 11 — нечетное число, функция является нечетной. Это означает, что $f(-x) = (-x)^{-11} = \frac{1}{(-x)^{11}} = -\frac{1}{x^{11}} = -f(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Знак функции: Если $x > 0$, то $x^{11} > 0$, и $f(x) > 0$. Если $x < 0$, то $x^{11} < 0$, и $f(x) < 0$.
• Монотонность: Найдем производную функции: $f'(x) = (-11) \cdot x^{-11-1} = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$. Так как $x^{12}$ всегда положительно при $x \neq 0$, производная $f'(x)$ всегда отрицательна. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из одного интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Теперь сравним значения функции в заданных точках.

1) $f(0,2)$ и $f(-10)$

Аргумент $x = 0,2$ положителен, поэтому значение функции $f(0,2) = (0,2)^{-11} = \frac{1}{0,2^{11}}$ также будет положительным.

Аргумент $x = -10$ отрицателен, поэтому значение функции $f(-10) = (-10)^{-11} = \frac{1}{(-10)^{11}} = -\frac{1}{10^{11}}$ будет отрицательным.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $f(0,2) > f(-10)$.

Ответ: $f(0,2) > f(-10)$.

2) $f(14)$ и $f(12)$

Оба аргумента, 14 и 12, принадлежат интервалу $(0; \infty)$, на котором функция $f(x)$ строго убывает.

Поскольку $12 < 14$, из свойства убывающей функции следует, что $f(12) > f(14)$.

Это также можно увидеть, сравнив дроби: $f(14) = \frac{1}{14^{11}}$ и $f(12) = \frac{1}{12^{11}}$. Так как $14 > 12$, то и $14^{11} > 12^{11}$. Для положительных дробей с одинаковым числителем (1) та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Значит, $\frac{1}{12^{11}} > \frac{1}{14^{11}}$, то есть $f(12) > f(14)$.

Ответ: $f(14) < f(12)$.

3) $f(-23)$ и $f(-34)$

Оба аргумента, -23 и -34, принадлежат интервалу $(-\infty; 0)$, на котором функция $f(x)$ также строго убывает.

Сравним аргументы: $-34 < -23$. Так как функция на этом интервале убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-34) > f(-23)$.

Проверим другим способом: $f(-23) = \frac{1}{(-23)^{11}} = -\frac{1}{23^{11}}$ и $f(-34) = \frac{1}{(-34)^{11}} = -\frac{1}{34^{11}}$. Нам нужно сравнить два отрицательных числа. Сначала сравним их модули: $\frac{1}{23^{11}}$ и $\frac{1}{34^{11}}$. Поскольку $34 > 23$, то $34^{11} > 23^{11}$, и $\frac{1}{34^{11}} < \frac{1}{23^{11}}$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Значит, $-\frac{1}{34^{11}} > -\frac{1}{23^{11}}$, то есть $f(-34) > f(-23)$.

Ответ: $f(-23) < f(-34)$.