Номер 62, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. Дана функция $f(x) = x^{-20}$. Сравните:

1) $f(1.4)$ и $f(2.6)$;

2) $f(-5.4)$ и $f(-6.3)$;

3) $f(-2.8)$ и $f(2.8)$;

4) $f(-25)$ и $f(7)$.

Дана функция $f(x) = x^{-20}$. Для сравнения её значений в различных точках, проанализируем свойства этой функции. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{20}}$.

Поскольку показатель степени $-20$ является четным числом, функция $f(x)$ является четной. Это означает, что $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Например, $f(-a) = (-a)^{-20} = \frac{1}{(-a)^{20}} = \frac{1}{a^{20}} = f(a)$.

Рассмотрим монотонность функции:

• На промежутке $(0, +\infty)$ функция убывает. Это значит, что для любых $0 < x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
• На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает. Это значит, что для любых $x_1 < x_2 < 0$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Теперь сравним заданные значения, используя эти свойства.

1) f(1,4) и f(2,6)

Аргументы $1,4$ и $2,6$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $1,4 < 2,6$, то по свойству убывающей функции $f(1,4) > f(2,6)$.

Ответ: $f(1,4) > f(2,6)$.

2) f(-5,4) и f(-6,3)

Аргументы $-5,4$ и $-6,3$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0)$, на котором функция $f(x)$ возрастает. Поскольку $-6,3 < -5,4$, то по свойству возрастающей функции $f(-6,3) < f(-5,4)$.

Ответ: $f(-5,4) > f(-6,3)$.

3) f(-2,8) и f(2,8)

Функция $f(x) = x^{-20}$ является четной, так как показатель степени $-20$ — четное число. По определению четной функции $f(-x) = f(x)$. Следовательно, при $x = 2,8$ получаем $f(-2,8) = f(2,8)$.

Ответ: $f(-2,8) = f(2,8)$.

4) f(-25) и f(7)

Используем свойство четности функции: $f(-25) = f(25)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(25)$ и $f(7)$. Аргументы $25$ и $7$ принадлежат промежутку $(0, +\infty)$, на котором функция $f(x)$ убывает. Поскольку $25 > 7$, то $f(25) < f(7)$. Следовательно, $f(-25) < f(7)$.

Ответ: $f(-25) < f(7)$.