Номер 67, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^{-2}, \text{ если } x < -1, \\ x^{2}, \text{ если } x \ge -1. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } x < -1 \\ x^2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции рассмотрим каждую ее часть отдельно.

1. На интервале $(-\infty, -1)$ функция задана формулой $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. График на этом участке является частью гиперболы. При $x \to -\infty$, значение $f(x) \to 0$, следовательно, ось OX является горизонтальной асимптотой. На границе интервала, в точке $x = -1$, определим, к какому значению стремится функция. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка на графике будет выколотой.
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$.
Таким образом, на интервале $(-\infty, -1)$ график представляет собой кривую, которая возрастает от $0$ и приближается к выколотой точке с координатами $(-1, 1)$.

2. На промежутке $[-1, +\infty)$ функция задана формулой $f(x) = x^2$. График на этом участке является частью стандартной параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Найдем значения функции в ключевых точках:
- В граничной точке $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
- В вершине параболы $x = 0$: $f(0) = 0^2 = 0$.
- В точке $x = 1$: $f(1) = 1^2 = 1$.
На этом участке график начинается в точке $(-1, 1)$, убывает до вершины параболы в точке $(0, 0)$, а затем возрастает.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Поскольку предел функции слева в точке $x = -1$ равен значению функции в этой точке ($1=1$), функция является непрерывной.
Ответ: График функции состоит из ветви гиперболы $y=1/x^2$ на интервале $(-\infty, -1)$ и части параболы $y=x^2$ на луче $[-1, +\infty)$, которые соединяются в точке $(-1, 1)$.

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Анализируя построенный график, определяем промежутки монотонности функции (промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает).
- На промежутке $(-\infty, -1]$ график идет вверх при движении слева направо. Это означает, что функция на этом промежутке возрастает.
- На промежутке $[-1, 0]$ график идет вниз, от точки $(-1, 1)$ до точки $(0, 0)$. Это означает, что функция на этом промежутке убывает.
- На промежутке $[0, +\infty)$ график снова идет вверх, начиная от точки $(0, 0)$. Это означает, что функция на этом промежутке возрастает.
Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[0, +\infty)$. Промежуток убывания: $[-1, 0]$.