Страница 67 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = 4 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = -x^{-4}, \\ y = -\sqrt{x + 3}. \end{cases}$

Для определения количества решений системы уравнений $ \begin{cases} y = x^{-3} \\ y = 4 - x \end{cases} $ построим в одной системе координат графики функций $y = x^{-3}$ (то же самое, что $y = \frac{1}{x^3}$) и $y = 4 - x$.

График функции $y = \frac{1}{x^3}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальной асимптотой.

График функции $y = 4 - x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

Проанализируем взаимное расположение графиков:

• При $x < 0$ (третья четверть), значения функции $y = \frac{1}{x^3}$ отрицательны. Значения функции $y = 4 - x$ положительны (так как если $x < 0$, то $-x > 0$, и $4 - x > 4$). Следовательно, в этой области графики не пересекаются.
• При $x > 0$ (первая четверть), обе функции положительны. Ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x^3}$ убывает от $+\infty$ до $0$. Прямая $y = 4 - x$ также убывает. Сравним значения функций в некоторых точках. При $x$, стремящемся к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y = \frac{1}{x^3}$ стремится к $+\infty$, а значение $y = 4 - x$ стремится к $4$. Это означает, что вблизи оси Oy гипербола находится выше прямой. При $x=1$ имеем $y = 1^{-3} = 1$ для гиперболы и $y = 4 - 1 = 3$ для прямой; прямая выше гиперболы. Так как обе функции непрерывны при $x>0$, между $0$ и $1$ есть точка пересечения. При $x=4$ имеем $y = 4^{-3} = \frac{1}{64}$ для гиперболы и $y = 4 - 4 = 0$ для прямой; гипербола снова выше прямой. Значит, между $1$ и $4$ есть вторая точка пересечения. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

Для определения количества решений системы уравнений $ \begin{cases} y = -x^{-4} \\ y = -\sqrt{x} + 3 \end{cases} $ построим в одной системе координат графики функций $y = -x^{-4}$ (то же самое, что $y = -\frac{1}{x^4}$) и $y = -\sqrt{x} + 3$.

График функции $y = -\frac{1}{x^4}$ расположен полностью ниже оси Ox (в третьей и четвертой координатных четвертях), так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$. График симметричен относительно оси Oy. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось Ox ($y=0$) — горизонтальной асимптотой.

График функции $y = -\sqrt{x} + 3$ определён только при $x \ge 0$. Он начинается в точке $(0, 3)$, убывает и пересекает ось Ox в точке $(9, 0)$, так как $-\sqrt{x} + 3 = 0 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.

Поскольку область определения функции $y = -\sqrt{x} + 3$ — это $x \ge 0$, пересечение возможно только с правой ветвью графика $y = -\frac{1}{x^4}$ (при $x > 0$).

• На интервале $(0, 9]$, значения функции $y = -\sqrt{x} + 3$ неотрицательны ($y \ge 0$), в то время как значения функции $y = -\frac{1}{x^4}$ строго отрицательны. Пересечений на этом интервале нет.
• На интервале $(9, +\infty)$, обе функции принимают отрицательные значения. Функция $y = -\sqrt{x} + 3$ монотонно убывает до $-\infty$. Функция $y = -\frac{1}{x^4}$ монотонно возрастает, приближаясь к $0$. Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Поскольку при $x=9$ график $y = -\sqrt{x} + 3$ находится на оси Ox ($y=0$), а график $y = -\frac{1}{x^4}$ находится ниже ($y = -1/9^4 < 0$), а при $x \to +\infty$ он уходит в $-\infty$ и оказывается ниже графика $y = -\frac{1}{x^4}$ (который стремится к 0), то они обязательно пересекутся ровно один раз.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

67. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^{-2}, \text{ если } x < -1, \\ x^{2}, \text{ если } x \ge -1. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } x < -1 \\ x^2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции рассмотрим каждую ее часть отдельно.

1. На интервале $(-\infty, -1)$ функция задана формулой $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. График на этом участке является частью гиперболы. При $x \to -\infty$, значение $f(x) \to 0$, следовательно, ось OX является горизонтальной асимптотой. На границе интервала, в точке $x = -1$, определим, к какому значению стремится функция. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка на графике будет выколотой.
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$.
Таким образом, на интервале $(-\infty, -1)$ график представляет собой кривую, которая возрастает от $0$ и приближается к выколотой точке с координатами $(-1, 1)$.

2. На промежутке $[-1, +\infty)$ функция задана формулой $f(x) = x^2$. График на этом участке является частью стандартной параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Найдем значения функции в ключевых точках:
- В граничной точке $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
- В вершине параболы $x = 0$: $f(0) = 0^2 = 0$.
- В точке $x = 1$: $f(1) = 1^2 = 1$.
На этом участке график начинается в точке $(-1, 1)$, убывает до вершины параболы в точке $(0, 0)$, а затем возрастает.

Объединяя обе части, получаем итоговый график. Поскольку предел функции слева в точке $x = -1$ равен значению функции в этой точке ($1=1$), функция является непрерывной.
Ответ: График функции состоит из ветви гиперболы $y=1/x^2$ на интервале $(-\infty, -1)$ и части параболы $y=x^2$ на луче $[-1, +\infty)$, которые соединяются в точке $(-1, 1)$.

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Анализируя построенный график, определяем промежутки монотонности функции (промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает).
- На промежутке $(-\infty, -1]$ график идет вверх при движении слева направо. Это означает, что функция на этом промежутке возрастает.
- На промежутке $[-1, 0]$ график идет вниз, от точки $(-1, 1)$ до точки $(0, 0)$. Это означает, что функция на этом промежутке убывает.
- На промежутке $[0, +\infty)$ график снова идет вверх, начиная от точки $(0, 0)$. Это означает, что функция на этом промежутке возрастает.
Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[0, +\infty)$. Промежуток убывания: $[-1, 0]$.

68. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-10) < f(-9);$

2) $f(-10) > f(-9);$

3) $f(10) < f(-9);$

4) $f(10) < f(9)?$

Функция задана формулой $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число. Для ответа на вопрос проанализируем поведение функции в зависимости от чётности $n$.

1) $f(-10) < f(-9)$;

Подставим значения аргументов в функцию. Неравенство примет вид:

$(-10)^{-n} < (-9)^{-n}$

$\frac{1}{(-10)^n} < \frac{1}{(-9)^n}$

Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-10)^n = 10^n$ и $(-9)^n = 9^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$. Так как $n$ — натуральное число и $10 > 9$, то $10^n > 9^n$. Для положительных чисел, чем больше знаменатель, тем меньше дробь, поэтому неравенство $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$ является верным.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-10)^n = -10^n$ и $(-9)^n = -9^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{-10^n} < \frac{1}{-9^n}$, что равносильно $-\frac{1}{10^n} < -\frac{1}{9^n}$. Умножив обе части на $-1$, мы изменим знак неравенства: $\frac{1}{10^n} > \frac{1}{9^n}$. Это неравенство неверно, так как $10^n > 9^n$.

Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ является чётным числом.

Ответ: Чётным.

2) $f(-10) > f(-9)$;

Подставим значения аргументов в функцию. Неравенство примет вид:

$(-10)^{-n} > (-9)^{-n}$

$\frac{1}{(-10)^n} > \frac{1}{(-9)^n}$

Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то неравенство принимает вид $\frac{1}{10^n} > \frac{1}{9^n}$. Это неверно, так как $10^n > 9^n$.
• Если $n$ — нечётное число, то неравенство принимает вид $-\frac{1}{10^n} > -\frac{1}{9^n}$. Умножив обе части на $-1$, получаем $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$. Это неравенство верно, так как $10^n > 9^n$.

Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ является нечётным числом.

Ответ: Нечётным.

3) $f(10) < f(-9)$;

Подставим значения аргументов в функцию. Неравенство примет вид:

$10^{-n} < (-9)^{-n}$

$\frac{1}{10^n} < \frac{1}{(-9)^n}$

Рассмотрим два случая:

• Если $n$ — чётное число, то $(-9)^n = 9^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$. Это неравенство верно, так как $10^n > 9^n$.
• Если $n$ — нечётное число, то $(-9)^n = -9^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{-9^n}$, или $\frac{1}{10^n} < -\frac{1}{9^n}$. Это неверно, так как положительное число в левой части не может быть меньше отрицательного числа в правой.

Таким образом, данное условие выполняется только тогда, когда $n$ является чётным числом.

Ответ: Чётным.

4) $f(10) < f(9)$;

Подставим значения аргументов в функцию. Неравенство примет вид:

$10^{-n} < 9^{-n}$

$\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$

Так как $n$ — натуральное число, то $10^n$ и $9^n$ являются положительными числами. Поскольку $10 > 9$, то $10^n > 9^n$ для любого натурального $n$. При сравнении дробей с одинаковыми числителями (равными 1), та дробь меньше, у которой знаменатель больше.

Следовательно, неравенство $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{9^n}$ справедливо для любого натурального числа $n$, как чётного, так и нечётного.

Поэтому на основании этого условия невозможно однозначно определить чётность числа $n$.

Ответ: Число $n$ может быть как чётным, так и нечётным.

69. Найдите значение корня:

1) $\sqrt[3]{125}$;

2) $\sqrt[6]{0,000064}$;

3) $\sqrt[7]{-128}$;

4) $\sqrt[3]{15\frac{5}{8}}$;

5) $-2\sqrt[7]{-0,0000128}$.

1) Чтобы найти значение корня $\sqrt[3]{125}$, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень даст 125. Таким числом является 5, так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Следовательно, $\sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: 5

2) Чтобы вычислить $\sqrt[6]{0,000064}$, представим подкоренное выражение в виде степени. Десятичную дробь 0,000064 можно записать как $64 \cdot 10^{-6}$. Мы знаем, что $64 = 2^6$. Тогда выражение примет вид: $\sqrt[6]{2^6 \cdot 10^{-6}}$. Используя свойство корня $(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})$, а также то, что $10^{-6} = (10^{-1})^6$, получим: $\sqrt[6]{2^6 \cdot (10^{-1})^6} = \sqrt[6]{(2 \cdot 10^{-1})^6} = 2 \cdot 10^{-1} = 0,2$. Проверка: $0,2^6 = 0,000064$.
Ответ: 0,2

3) Требуется найти значение корня $\sqrt[7]{-128}$. Поскольку показатель корня (7) является нечетным числом, корень из отрицательного числа существует и будет отрицательным. Нужно найти число, которое в седьмой степени равно -128. Мы знаем, что $2^7 = 128$. Следовательно, $(-2)^7 = -128$. Таким образом, $\sqrt[7]{-128} = -2$.
Ответ: -2

4) Для вычисления $\sqrt[3]{15\frac{5}{8}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. $15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{120 + 5}{8} = \frac{125}{8}$. Теперь найдем корень из этой дроби: $\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$. Используем свойство корня из дроби $(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})$: $\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{5}{2}$, так как $5^3 = 125$ и $2^3 = 8$. Результат можно записать в виде десятичной дроби: $\frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5

5) Найдем значение выражения $-2\sqrt[7]{-0,0000128}$. Сначала вычислим значение корня $\sqrt[7]{-0,0000128}$. Показатель корня (7) нечетный, поэтому корень из отрицательного числа будет отрицательным. Представим подкоренное выражение: $-0,0000128 = -128 \cdot 10^{-7}$. Мы знаем, что $128 = 2^7$. Тогда $\sqrt[7]{-0,0000128} = \sqrt[7]{-128 \cdot 10^{-7}} = \sqrt[7]{(-2)^7 \cdot (10^{-1})^7} = \sqrt[7]{(-2 \cdot 10^{-1})^7} = -2 \cdot 10^{-1} = -0,2$. Теперь умножим полученное значение на коэффициент -2: $-2 \cdot (-0,2) = 0,4$.
Ответ: 0,4

70. Вычислите:

1) $0,7 \sqrt[4]{10000} - \frac{4}{3} \sqrt[5]{243}$;

2) $\sqrt[9]{512} + 2(\sqrt{7})^7 - 6\sqrt[4]{81}$;

3) $3(-\sqrt[10]{18})^{10} - 1,4 \sqrt[3]{1000000} + (\frac{1}{2}\sqrt[4]{80})^4$;

4) $\sqrt[4]{\frac{81}{625}} \cdot \sqrt[3]{4\frac{17}{27}} + (-3\sqrt{2})^2 - (-\sqrt[5]{13})^5$.

1) $0,7\sqrt[4]{10000} - \frac{4}{3}\sqrt[5]{243}$

Выполним вычисления по шагам:
1. Находим значение корня $\sqrt[4]{10000}$. Так как $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{10000} = 10$.
2. Находим значение корня $\sqrt[5]{243}$. Так как $3^5 = 243$, то $\sqrt[5]{243} = 3$.
3. Подставляем полученные значения в выражение: $0,7 \cdot 10 - \frac{4}{3} \cdot 3 = 7 - 4 = 3$.

Ответ: 3

2) $\sqrt[9]{512} + 2(\sqrt[7]{7})^7 - 6\sqrt[4]{81}$

Выполним вычисления по шагам:
1. Находим значение корня $\sqrt[9]{512}$. Так как $2^9 = 512$, то $\sqrt[9]{512} = 2$.
2. Вычисляем второе слагаемое $2(\sqrt[7]{7})^7$. По свойству $(\sqrt[n]{a})^n = a$, имеем $2 \cdot 7 = 14$.
3. Вычисляем вычитаемое $6\sqrt[4]{81}$. Так как $3^4 = 81$, то $6 \cdot \sqrt[4]{3^4} = 6 \cdot 3 = 18$.
4. Складываем и вычитаем полученные значения: $2 + 14 - 18 = 16 - 18 = -2$.

Ответ: -2

3) $3(-\sqrt[10]{18})^{10} - 1,4\sqrt[3]{1000000} + (\frac{1}{2}\sqrt[4]{80})^4$

Выполним вычисления по шагам:
1. Вычисляем $3(-\sqrt[10]{18})^{10}$. Так как показатель степени $10$ является четным, $(-\sqrt[10]{18})^{10} = 18$. Тогда $3 \cdot 18 = 54$.
2. Вычисляем $1,4\sqrt[3]{1000000}$. Так как $100^3 = 1000000$, то $\sqrt[3]{1000000} = 100$. Тогда $1,4 \cdot 100 = 140$.
3. Вычисляем $(\frac{1}{2}\sqrt[4]{80})^4$. По свойству степени $(ab)^n=a^nb^n$, получаем $(\frac{1}{2})^4 \cdot (\sqrt[4]{80})^4 = \frac{1}{16} \cdot 80 = 5$.
4. Подставляем значения в выражение: $54 - 140 + 5 = 59 - 140 = -81$.

Ответ: -81

4) $\sqrt[4]{\frac{81}{625}} \cdot \sqrt[3]{4\frac{17}{27}} + (-3\sqrt{2})^2 - (-\sqrt[5]{13})^5$

Выполним вычисления по шагам:
1. Первое слагаемое является произведением. Вычислим каждый множитель:
$\sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{3}{5}$.
$\sqrt[3]{4\frac{17}{27}} = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 27 + 17}{27}} = \sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5}{3}$.
Результат произведения: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$.
2. Второе слагаемое: $(-3\sqrt{2})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
3. Третье слагаемое: $-(-\sqrt[5]{13})^5$. Так как показатель степени $5$ является нечетным, $(-\sqrt[5]{13})^5 = -13$. Тогда $-(-13) = 13$.
4. Складываем полученные значения: $1 + 18 + 13 = 32$.

Ответ: 32

71. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{x+7};$

2) $y = \sqrt[6]{-x^2};$

3) $y = \sqrt[7]{x-6};$

4) $y = \sqrt[8]{x^2+3x};$

5) $y = \sqrt[8]{-6-5x-x^2};$

6) $y = \sqrt[12]{\frac{x^2-4x-5}{x^2-25}}.$

1) $y = \sqrt[4]{x + 7}$
Область определения функции, содержащей корень четной степени (в данном случае, степени 4), определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x + 7 \ge 0$
Перенесем 7 в правую часть неравенства:
$x \ge -7$
Следовательно, область определения функции — это все числа, большие или равные -7.
Ответ: $D(y) = [-7; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[6]{-x^2}$
Подкоренное выражение для корня четной степени (степени 6) должно быть неотрицательным.
$-x^2 \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 \le 0$
Выражение $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Единственное значение $x$, при котором выполняется условие $x^2 \le 0$, — это $x=0$, когда $x^2 = 0$.
Таким образом, функция определена только в одной точке.
Ответ: $D(y) = \{0\}$.

3) $y = \sqrt[7]{x - 6}$
Область определения функции, содержащей корень нечетной степени (степени 7), совпадает с областью определения подкоренного выражения. Выражение $x - 6$ определено для всех действительных чисел.
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) $y = \sqrt[8]{x^2 + 3x}$
Подкоренное выражение для корня четной степени (степени 8) должно быть неотрицательным.
$x^2 + 3x \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x = 0$.
$x(x + 3) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 + 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, $x \in (-\infty; -3] \cup [0; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [0; +\infty)$.

5) $y = \sqrt[8]{-6 - 5x - x^2}$
Подкоренное выражение для корня четной степени (степени 8) должно быть неотрицательным.
$-6 - 5x - x^2 \ge 0$
Умножим неравенство на -1 и изменим знак на противоположный:
$x^2 + 5x + 6 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением неравенства является промежуток $[-3; -2]$.
Ответ: $D(y) = [-3; -2]$.

6) $y = \sqrt[12]{\frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 25}}$
Область определения функции определяется системой условий: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 25} \ge 0 \\ x^2 - 25 \neq 0 \end{cases}$
Решим неравенство $\frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 25} \ge 0$ методом интервалов. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 - 4x - 5 = 0$ корни $x_1 = 5, x_2 = -1$, поэтому $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$.
Для знаменателя $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 5)(x + 5)} \ge 0$
Найдем нули числителя и знаменателя: $x=-1$, $x=5$, $x=-5$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Точки $x=5$ и $x=-5$ (нули знаменателя) будут выколотыми. Точка $x=-1$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.
Определим знаки выражения на полученных интервалах: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1]$, $[-1; 5)$, $(5; +\infty)$.
- при $x > 5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$ (подходит)
- при $-1 \le x < 5$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$ (подходит)
- при $-5 < x < -1$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$ (не подходит)
- при $x < -5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$ (подходит)
Объединяя подходящие промежутки, получаем решение неравенства.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -5) \cup [-1; 5) \cup (5; +\infty)$.